Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы показать, что расщепляющееся расширение Ео действует как нуль для сложения Бэра, сначала заметим, что для любого расширения ? 6 Ext (С,А) существует коммутативная диаграмма
E:Q—> А------>В-^С-+ О
II
?0:0 —> А —> А ©) С —^ С —> О,
где v — отображение, действующее так: \Ь = (0, ab) — i2ab. Эта диаграмма утверждает, что расщепляющееся расширение ?0 может быть записано как композиция ?0 = 0А?, где 0А : А -»- А —¦ нулевой гомоморфизм. Теперь в силу закона дистрибутивности Е + Е0 = 1а? + 0а? == (1А + 0А) ? == 1а? г= ?. Аналогичное доказательство показывает, что (—1А) ? есть аддитивный обратный к ? относительно сложения Бэра. Наше второе доказательство теоремы закончено.
Второй дистрибутивный закон (2.6), содержащийся в этой теореме, можно выразить следующим образом. Для каждого гомоморфизма а :А -* А' пусть а*: Ext (С, А) -*¦ Ext (С, А') обозначает индуцированный гомоморфизм, и аналогично положим у*Е — = Еу. Тогда (у* + у*) Е = у*Е + у*Е, так что (2.6) можно переписать в виде
(ai + а2)* = («i)* + (а2)*, (Yi + У2)* = Ы* + Ы*.
Говорят, что бифунктор аддитивен, если он обладает этими свойствами. Точно так же, как и в (1.6.5), из этих свойств вытекают естественные изоморфизмы
Ext (С, At © A,) s*Ext (С, At) © Ext (С, Аг),
Ext (Ct © C2, А) её Ext (C„ A) © Ext (C2, A).
Для R — Z и конечно порожденной абелевой группы С эти формулы вместе с предложением 1.1 и равенством Extz (Z, А) = 0 позволяют вычислить Extz (С, Л).
7*
100
Гл. III. Расширения и резольвенты
Следствие. 2.2. Если конечные абелевы группы А и С имеют взаимно простые порядки, то любое расширение А при помощи С расщепляется.
Доказательство. Пусть тип — порядки групп А и С и пусть цт : С -*~С — гомоморфизм, определенный умножением на т элементов из С, так что \хтс — тс. Поскольку /п и п взаимно просты, существует такое т', что т'т = 1 (mod п), следовательно, цт — автоморфизм, и каждый элемент из Ext (С, А) имеет вид для некоторого Е. Однако цт = 1С + •••'+ 1с (/«слагаемых), так что
Е[лт = Е (1с+,,- + 1с) = (1а+‘-, + 1а)? = УщЕ = 0,
где vm : А А — такой гомоморфизм, что vm (а) = та = 0, что и требовалось доказать.
УПРАЖНЕНИЯ
В следующих упражнениях удобно считать, что все системы факторов (f,g) удовлетворяют «условию нормализации»:
f (с, 0) = 0=/ (0, d), g(r,0)=0.
Этому условию всегда можно удовлетворить, выбрав представители и так, чтобы и (0) == 0.,
1. Показать, что для абелевых групп (т. е. при R — Z) «нормализованная» функция из СхС в А тогда и только тогда является системой факторов для расширений абелевых групп, когда
f{c, d) + f(c + d, e) = f{e, d+e)+f(d, e), f (c, d)=f (d, c), что соответствует законам ассоциативности и коммутативности.
2. Пусть Gz (С,А) — множество всех нормализованных функций f, удовлетворяющих тождествам упражнения 1. Показать, что Extz (С, А) &
е Gz (C,A)/SZ (С,А).
3. Указать аналог упражнения 1 для произвольного кольца (указать тождества для систем факторов, состоящих из двух функций f и g).
§ 3. Препятствия для продолжения гомоморфизмов
Мы уже отмечали, что функтор Нот не сохраняет точность последовательностей, потому что гомоморфизм а : A --»~G подмодуля А модуля В не всегда может быть продолжен до гомоморфизма В в G. Мы можем теперь описать некоторый элемент аЕ из Ext (В/А, G), который служит «препятствием» для этого продолжения.
J1 е м м a 3.1. Пусть А — подмодуль модуля В] и Е: А >-> В -» -» С — соответствующая точная последовательность, в которой С = В!А. Гомоморфизм а : А —*G может быть продолжен до
§ 3. Препятствия для продолжения гомоморфизмов
101
гомоморфизма В -*-G тогда и только тогда, когда расширение аЕ расщепляется.
Доказательство. Предположим сначала, что а продолжается до а: В ->• G. Построим диаграмму
Е: 0-> А----->В —С-> 0
l\ I II
?':0->ОЛС@С4 С—> 0,
в которой Е'—диаграмма внешней прямой суммы с вложением ц и проекцией я2. Поставим вместо пунктирной стрелки отображение b -+¦ (ab, ab) = цаб + i2ff6. Получающаяся в результате диаграмма коммутативна и, следовательно, определяет морфизм Е -*-Е'. В согласии с леммой 1.4 Е' = аЕ. Поскольку Е' расщепляется, аЕ также расщепляется.
Обратно, предположим, что аЕ расщепляется. Диаграмма
E:Q —> А —> В _> С-> 0
° " II
li у я2 II
аЕ :0 —> G В'С0,
использованная для построения аЕ, определяет отображение jiiP : В -+G, которое является продолжением а. Лемма доказана.
Сопоставление каждому а: А G его препятствия аЕ является ввиду (2.6) групповым гомоморфизмом
Е* : HomH (A, G) —> ExtB (С, G).
Назовем этот гомоморфизм связывающим гомоморфизмом для точной последовательности Е.
и а
Теорема 3.2. Если Е : А » В -» С — короткая точная последовательность R-моду лей, то последовательность
