Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 39

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 227 >> Следующая

Система факторов для последовательности Е не единственна. Для другого выбора представителей «' (с) мы должны иметь соотношение и' (с) = х/г (с) + и (с), где h — некоторая функция из С в Л.
§ 2. Сложение расширений
97
Можно подсчитать, что
и' (с) + и' (d) = х [h (с) + h (d) — h (с + d) + / (с, d)] + и' (с + d),
ги' (с) = x [rh (с) — h (rc) + g (r, c)]+u' (re).
Новая система факторов /' (с, d), g' (г, с) для представителей и' определяется выражениями, стоящими в квадратных скобках в написанных выше равенствах. Мы можем выразить это обстоятель« ство по-другому: для каждой функции h, отображающей С в Л, существует элемент (6ch, bRh) 6 Fr (С,А), определенный следующим образом:
(8ch) (с, d) = h(c) + h (d) — h(c + d), (8Rh) (г, с) = rh (с) — h (rc).
Система факторов g' для представителей и' тогда имеет вид ФсК бдК). Обратно, любая такая функция h может быть использована для изменения представителей расширения. Поэтому если мы обозначим через SR (С,А) подгруппу всех пар функций из F$ (С, Л), имеющих вид (6ch, бRh), то система факторов (f,g) расширения Е оказывается однозначно определенной по модулю SR (С, А).
Используем теперь факторгруппу FR (С, A)/SB (С, А); каждому расширению Е сопоставим смежный класс ш (Е) из FR/SR, содержащий какую-то систему факторов (/, g) этого расширения. Класс о) (Е) однозначно определяется расширением Е.
Конгруэнтность расширений отображает представителей в представители, следовательно, конгруэнтные расширения имеют одни и те же системы факторов. Отсюда следует, что ю есть взаимно однозначное отображение множества классов конгруэнтных расширений на подмножество абелевой группы FR (C,A)/SR (С,А). Чтобы показать, что Ext (С,Л) является абелевой группой относительно сложения Бэра, достаточно проверить справедливость равенств
(й(Е1 + Ег)-=(й(Е1) + а(Е2), о)[( — 1А)?]= —<о(Е).
Первое равенство вытекает из подсчета системы факторов для расширения Е1 @ Ег и, значит, для Еi + Е2- Второе равенство вытекает из замечания (начертить диаграмму!), что (— 1А) Е получается из Е изменением знака у отображения х : А » В и, значит, изменением знаков у функций fug, составляющих систему факторов. Наконец, расщепляющееся расширение Е0 в качестве одной из систем факторов имеет пару (0, 0) и поэтому является нулем относительно введенного сложения.
Возможно также (см. упражнения) охарактеризовать непосредственно те пары функций (/, g), которые могут встретиться как системы факторов расширения и, следовательно, показать, что
7-353
98
Гл. III. Расширения и резольвенты
ExtB (С, А) есть абелева группа, вообще не используя сложение Бэра.
Доказательство соотношения (2.5) просто: FR (С, A)!SR (С, А) — это бифунктор, а о — естественный гомоморфизм. Доказательство
(2.6) аналогйчно.
. Мы теперь переходим ко второму («умозрительному») доказательству теоремы. Для прямой суммы (2.3) двух расширений Ег конгруэнтности
(ai © а2) (Ei © Ег) = ai^i © <hE2, (2-8)
(?i©?2)(Yi©Y2) = Eiyi©Ezyz, (2.9)
могут быть установлены при помощи лемм § 1, которые характеризуют композиции Егу- и atEi. Для гомоморфизма а : А А' легко проверить, что
ctV = V (а © а): Л © Л —> Л' (2.10)
и аналогично для гомоморфизма у : С' -+• С
Ау = (у@у)А:С'-+С®С. (2.10')
Теперь следующая цепочка конгруэнтностей доказывает утверждение (2.5) теоремы:
a(Ei + Ez) = aV(?i©?2)A = V(a©a)(?j©?2) Д = = V (aEi © aEz) A = aEi + aEz;
вторая половина утверждения доказывается аналогично. Доказательство (2.6) проводится параллельно приведенному, как только мы установим, что
Д? ==(?©?) Д, EV = V(E@E). (2.11)'
Поскольку тройка (ДА, Ав, Дс) : Е ->~Е © Е является морфизмом расширений, первое из этих соотношений вытекает из предложения 1.8. Аналогично из того, что тройка (V, V, V) : Е © Е ->-? есть морфизм, вытекает второе соотношение.
Теперь покажем, что сложение Бэра (2.4) превращает Ext в группу. Ассоциативный закон вытекает из определения (2.4) сразу, как только установлено, что диагональное и кодиагональное отображения удовлетворяют тождествам
(Д©1С)Д= (1с©Д)Д:С-^ѩѩС, (2.12)
^©1а)=^(1а©?):Л©Л©Л—*Л. (2.12')
Эти тождества следуют прямо из определений А и V, если отождествить (С © С) 0 С с С © (С © С) при помощи очевидного изоморфизма. Для доказательства коммутативного закона для сложения Бэра используем изоморфизм тА : At © Л2 Л2 © Аи опре-
§ 2. Сложение расширений
99
деленный равенством тА {аи а2) = (а2, аО (или при желании свойством универсальности и подходящей диаграммой!). Морфизм (тА. тВ) тс) : (Ei © Е2) ?2 © ? i показывает, что тА (?4 © Е2) =
= (?2 © Ei) тс; подсчетом или при помощи диаграммы доказывается, что Vata — VA и Ас = тсАс- Следовательно, коммутативный закон получается посредством цепочки соотношений
?1 + ?2 = V(?1©?2)A = Vt(?1©?2)A =
= V (?2 © ?1) тА = V (?2 © ?1) А = ?2 + ?j.
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed