Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 42

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 227 >> Следующая

E1:0-*K-*L-*A-+0
If I Iх
E2:0->K-*F-Xb->0
с точными строками Et и Е2; следовательно, Et = Егк. Отсюда мы получаем коммутативную диаграмму
Ч
Нот (К, G) Л Ext (В, G)
II ^
Нот (К, G) —* Ext (A, G)~>Ext(L, G)
с точной нижней строкой в силу теоремы 3.2. Но Z/как подгруппа свободной абелевой группы сама свободна. По теореме 3.5 Ext (L, G) —
— 0, следовательно, отображение Е* из диаграммы является эпиморфизмом, а поэтому их* — эпиморфизм, что и требовалось доказать.
В случае теоремы 3.4 нам дана точная последовательность Е: А >-» В -»С, и мы должны показать, что отображение Ext (G, В) Ext (G, С) — эпиморфизм. Представим любой элемент из Ext (G, С) точной последовательностью 5: С >-> D -» G. Поскольку ц: С -+-D — мономорфизм, уже рассмотренный случай теоремы 3.2 показывает, что существует точная последовательность Е': А >-» М -»D, для которой ц*Е' — Е. Этим установлено, что мы можем пополнить следующую коммутативную диаграмму таким образом, чтобы первые две строки и последний столбец были точны:
?:0—>А—>0
II i **
Е' :0—> А.—> ? Z) —>0
G = G.
Диаграммный поиск показывает, что средний столбец точен. Этот средний столбец и представляет элемент из Ext (G, В), отображающийся на последний столбец 5 ? Ext (G, С), что и требовалось доказать.
§ 3. Препятствия для продолжения гомоморфизмов
105-
Отметим, что приведенная выше диаграмма симметрична: если точны верхняя строка и правый столбец, то точность средней строки эквивалентна точности среднего столбца. В случае теоремы 3.2 утверждается, что диаграмма может быть пополнена таким образом, чтобы средняя строка была точной; в случае теоремы 3.4 утверждается, что диаграмма может быть пополнена таким образом, чтобы средний столбец был точен. Тот же факт можно сформулиро-зать на групповом языке следующим образом.
Следствие 3.8. Если даны абелевы группы D и А а В и мономорфизм ц : В/А >* D, то существует абелева группа М гэ В и продолжение |я до изоморфизма Ml А ^ D.
Это следствие приводит к построению группы М по данной подгруппе группы В и «накрывающей» факторгруппе D.
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Неточность Ext справа.) Пусть R = К[х,у] — кольцо многочле-
нов от двух неизвестных хаус коэффициентами из поля К, и пусть (х, у) — идеал, состоящий из всех многочленов со свободным членом, равным 0, фактормодуль R/(x, и) изоморфен полю К, где К рассматривается как такой Я-модуль, что xk = 0 = yk для всех k ? К, а Е: (х,у) >-> R -» -» К — точная последовательность Я-модулей. Показать, что отображение Extfl (R, G) Extд ((х, у), G) не является эпиморфизмом для всех G, выбрав
во второй группе такое расширение, в котором (х, у) представляется как фактормодуль свободного модуля с двумя образующими.
2. Подобным же образом показать, что последовательность теоремы 3.4 не всегда может оканчиваться нулем с сохранением точности.
3. Показать, что следствие 3.8 приводит к следующему (самодвойственному) утверждению: любой гомоморфизм а: В D абелевых групп можно записать в виде произведения а = tv, где v — мономорфизм, т — эпиморфизм и Кег т =v (Кег а).
4. Дать прямое доказательство второй половины предложения 3.7 (записать G как факторгруппу свободной группы).
5. Доказать предложение 3.7 для модулей над кольцом главных идеалов.
6. Для простого числа р и такой абелевой группы С, что рС = 0, доказать, что
Ext2 (С, G) s Нот2 (С, GjpG)
(Эйленберг — Маклейн [1954], теорема 26.5).
7. Для простого числа р аддитивной группы Р всех рациональных чисел вида т/ре, т,е ? Z, и аддитивной группы р-адических чисел 2<р) доказать, что
Extz (Р, Z) е Z<w/Z (Эйленберг — Маклейн [1942], добавление В).
106
Гл. III. Расширения и резольвенты
§ 4. Теорема об универсальных коэффициентах для групп когомологий
В качестве первого приложения функтора Ext мы дадим метод «вычисления» групп когомологий комплекса с произвольной группой коэффициентов по группам гомологий этого комплекса — в предположении, что мы имеем дело с комплексами свободных абелевых групп или свободных модулей над кольцом главных идеалов.
Теорема 4.1. (Об универсальных коэффициентах.) Пусть К — комплекс свободных абелевых групп Кп, и пусть G — произвольная абелева группа. Тогда для каждой размерности п имеется точная последовательность
0 -+Ext(Hn-i(K), G)Xfin(K, G) -Л- Нот (#„ (К), G)-» 0, (4.1)
в которой гомоморфизмы $ и а естественны по аргументам К и G. Эта последовательность расщепляется при помощи гомоморфизма, естественного по G, но не по К-
Второе отображение а определено на когомологическом классе els f следующим образом. Каждый п-мерный цикл из Нот (К, G) является гомоморфизмом /: Кп -*¦ G, который равен нулю на дКп+и так что индуцируется гомоморфизм /*: Нп (К) -*• G. Если f = = 6g — кограница, то на циклах это отображение равно нулю, так что (8g)# — 0. Положим a (els f) = /*.
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed