Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 41

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 227 >> Следующая

Е*
0 —> Ношн (С, G) —> Ношн (В, G) —> HomH (A, G) —>
^ExtH (С, G)^>ExtR(B, G) ExtR (A, G) (3.1) абелевых групп точна для любого R-модуля G.
Доказательство. Ввиду I (.6.7) нам уже известна точность в членах Нот (С, G) и Нот (В, G). Лемма 3.1 устанавливает точность в Нош (A, G). По предложению 1.7 о*Е* — (Еа)* = 0.
102
Гл. III. Расширения и резольвенты
Обратно, чтобы убедиться в том, что ядро содержится в образе группы Нот (A, G) в Ext (С, G) мы должны взять такое расширение Е 1.6 Ext (С, G), что Eta расщепляется, и показать, что Ei служит препятствием для некоторого отображения А ->•(?. В силу расщеп-ляемости ?to коммутативна диаграмма
Расщепляющее отображение р,, умноженное на р, дает отображение pi = Рц : В -*-Bi (указано пунктирной стрелкой в приведенной выше диаграмме), которое делает правый нижний треугольник коммутативным. Значит, а^х = <тх = 0. Но последовательность Ei точна, так что ptx представимо в виде х^ для некоторого at: A ->G. Тогда Тройка (ai, Pi, 1) : Е -±Ei является морфизмом точных последовательностей, который устанавливает, что Ei === s= оiiE.
Аналогичным рассуждением доказываем точность последовательности в ExtH (В, G) и тем самым заканчиваем доказательство теоремы.
Эта теорема утверждает, что функтор Ext исправляет неточность функтора Нот справа. В то же время Ext порождает новую неточность: в последовательности (3-1), отображение ExtH (В,' G) -*~ -*• ExtH (Л, G) не всегда является эпиморфизмом (см. упражнение). Для описания коядра этого отображения мы нуждаемся в новом функторе Ext2.
Обратимся теперь к такой задаче: когда гомоморфизм у : G ->¦ —>¦ В!А можно «поднять» до В, т. е. когда существует такой гомоморфизм у ¦. G В, что у равняется произведению G -+В -+BIA? Этот вопрос приводит к лемме, двойственной предыдущей лемме 3.1.
Лемма 3.3. Пусть С = В/А— фактормодуль, а Е — соответствующая точная последовательность. Гомоморфизм у : G -+¦ -*В1А может быть поднят до гомоморфизма у : GВ тогда и только тогда, когда расширение Еу расщепляется.
Доказательство в точности двойственно доказательству леммы 3.1 в том смысле, что направления всех стрелок изменены на противоположные и прямые суммы заменены прямым^ произёедениями. Снова назовем элемент Еу 6 Ext (G, А) препятствием для поднятия у. Сопоставление каждому у: G ->- С его препятствия Еу опрё-
Л
0 г*G —> G®B —В —>о
Ег: О -*G !-*С -* 0 .
§ 3. Препятствия для продолжения гомоморфизмов
103
деляет групповой гомоморфизм
?* : Horn (G, С) —» Ext (G, А), называемый связывающим гомоморфизмом для Е.
Теорема 3.4. Если Е: А >¦» В -» С — короткая точная последовательность R-модулей, то последовательность
Е±
0 —> Нотн (G, А) —* Ношн (G, В) —> Ношй (G, С) —>
^ ExtH (G, А) -> ExtH (G, Б) ExtH (G, С) (3.2)
абелевых групп точна для каждого R-модуля G.
Доказательство двойственно доказательству теоремы 3.2.
Теорема 3.5. R-модуль Р проективен тогда и только тогда, когда ExtH (Р, G) = 0 для любого R-модуля G.
По теореме 1.6.3 Р проективен тогда и только тогда, когда каждое расширение при помощи Р расщепляется. Теорема 3.2 указывает следующий путь для определения группы Ext.
И
Теорема 3.6. Если С и G — данные модули и если F: /С >*
X
>* Р -» С — точная последовательность с проективным модулем Р, то
ExtH (С, G) а* Ношд (К, G)/x* Ношн (Р, G). (3.3)
В частности, группа, стоящая справа, не зависит (с точностью до изоморфизма) от выбора короткой точной последовательности F.
Доказательство. В (3.1) заменим последовательность ? последовательностью/1. Поскольку модуль Р проективен, ExtH (Р, G) —
— 0 и точность последовательности (3.1) дает формулу (3.3) для ExtB (С, G).
Поскольку любой модуль С можно представить как фактор-модуль свободного модуля, можно вычислить всегда ExtR (С, G) по формуле (3.3), в которой Р свободен. Например, точная после-
И
довательность Z >-> Z -» ZlmZ, в которой гомоморфизм х означает умножение на целое число т, дает представление циклической группы Zm как факторгруппы группы Z. Поскольку Нот (Z,А) ^ А, где изоморфизм устанавливается отображением, переводящим каждый гомоморфизм f:Z-*-A в элемент f (1), мы получаем изоморфизм Extz (Zm, А) ^ А/тА. Это соответствие уже было использовано в предложении 1.1.
Предложение 3.7. Для абелевых групп последовательности, указанные в теоремах 3.2 и 3.4, остаются точными, если справа добавить нуль.
104
Гл. III. Расширения и резольвенты
Доказательство. В случае теоремы 3.2 мы должны показать, что мономорфизм х : А >* В индуцирует эпиморфизм х*: Ext (B,G) Ext (A,G). Для этой цели возьмем свободную абе-
леву группу F и эпиморфизм <р : F -» В с ядром К. Пусть L = = Ф-1 (хА). Тогда <р отображает L на хА с тем же ядром К, и поэтому возникает коммутативная диаграмма
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed