Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
называемую «инъективной корезольвентой» модуля Л. Комплекс Нот (С, Jn) имеет когомологию Ext" (С, Л). В частности, Ext1 (С, Л) часто называется Ext (С, Л).
Эта глава начинается с определения функтора Ext1, который немедленно применяется (§ 4) для вычисления когомологии комплекса свободных абелевых групп по его гомологии. Заканчивается глава описанием канонического процесса вложения любого модуля в «минимальный» инъективный модуль.
§ 1. Расширения модулей
Пусть Л и С — модули над фиксированным кольцом R. Расширением А при помощи С называется короткая точная последователь-
90
Гл. III. Расширения и резольвенты
ность Е = (х, а) : А >* В -» С R-модулей и R-модульных гомоморфизмов. Морфизм Г: Е -*¦ Е' расширений — это такая тройка Г = (а, Р, у) модульных гомоморфизмов, что диаграмма
?: 0 —> Л Лв ЛС^О
|г jv (Ы)
?':0->Л'^В'^С'->0
коммутативна. В частности, положим А" = Л и С' = С; два расширения Е к Е’ модуля Л при помощи модуля С считаются /сон-груэнтными (Е = ?'), если существует морфизм (1А, Р, lc) : Е ->¦ -»- ?\ Если такой морфизм существует, то в силу короткой леммы
о пяти гомоморфизмах средний гомоморфизм р является изоморфизмом; поэтому конгруэнтность расширений является симметричным, рефлексивным и транзитивным отношением. Пусть ExtH (С, Л) обозначает множество всех классов конгруэнтности расширений Л при помощи С.
Расширение Л при помощи С иногда описывается парой (В, 0), где Л является подмодулем модуля В, а 0 — изоморфизмом В/А ^ ^ С. Каждая такая пара определяет короткую точную последовательность Л >* В -» В /А, и каждое расширение Л при помощи С конгруэнтно расширению, полученному таким способом.
Прямая сумма Л >-> Л @ С -» С есть расширение Л при помощи С. Говорят, что расширение Е = (х, а) расщепляется, если оно конгруэнтно прямой сумме как расширению; ввиду предложения 1.4.3 это имеет место тогда и только тогда, когда о обладает правым обратным ц: С -у В (или эквивалентным образом х имеет левый обратный). Любое расширение с помощью проективного модуля Р расщепляется, так что Ext/? (Р, А) имеет только один элемент. Для иллюстрации нетривиального случая положим R = Z. Тогда, например, аддитивная группа 2Z четных чисел имеет два расширения при помощи циклической группы Z2 порядка 2: прямую сумму 2Z @ Z2 и группу Z гэ 2Z. Этот пример является частным случаем следующего факта.
Предложение 1.1. Для любой абелевой группы А и циклической группы Zm (с) порядка т с образующим с существует взаимно однозначное соответствие
¦Л : Extz (Zm (с), Л) ^ А/тА,
где тА — подгруппа группы А, состоящая из всех элементов вида та, а?А.
Доказательство. Возьмем любое расширение Е группы А с помощью группы Zm; в средней группе В выберем в качестве
§ 1. Расширения модулей
91
«представителя» образующего с такой элемент и, что аи = с. Каждый элемент из В может быть записан единственным образом в виде Ь = ха + hu для некоторого а в А и некоторого целого h, h — О, 1, . . т — 1. Поскольку тс = 0, а (ти) = 0, так что mu = xg для однозначно определенного элемента g ? А. Этот элемент g определяет «таблицу сложения» для группы В, потому что
(xa+hu)+(ха'+h'u) =
x(a + a') + (h + h')u, h+h'<im,
х(а + а' + g) + (h + h' — т)и, h+h’>m.
Элемент g неинвариантен; представитель и может быть заменен любым элементом и' = и + xf, где f ? А; тогда g заменяется на g" = g + mf. Однако смежный класс g + тА из А 1тА однозначно определен расширением Е. Положим т] (Е) = g + тА. Если Е = = Е', то т] (?) = т] (?'). Если g — любой элемент из А, возьмем для построения группы В множество всех пар (a, h), где а ? А, h = 0, 1, . , т — I, и определим сложение пар, используя g как в приведенной выше таблице. Это сложение ассоциативно, превращает множество В в группу и дает такое расширение Е, что Л (Е) = 8 + тА- Следовательно, 1] есть взаимно однозначное отображение на А/тА.
Теперь т) есть соответствие между множеством Extz и абелевой группой А/тА\ это подсказывает нам, что ExtH (С, А) всегда является абелевой группой. Мы вскоре покажем, что это действительно так. Сначала мы установим, что Ext есть функтор из категории модулей в категорию множеств.
Пусть модуль А фиксирован. Для того чтобы показать, что ExtB (С, А) есть контравариантный функтор по аргументу С, требуется для каждого Е в ExtH (С, А) и каждого у : С' -*¦ С указать подходящее расширение Е' = у*Е ? ExtH (С”, А). Это расширение Е\ которое можно обозначить как Еу, описывается следующей леммой, показывающей, что Е' единственно, откуда легко вытекают конгруэнтности
Elc^E, Е(уч') = (Еч)ч'. (1.2)
Они показывают, что Е зависит от С контравариантным образом; заметим, в частности, что обозначение Еу, в котором у пишется на втором месте, дает хорошую упорядоченность для умножения на у и у' во втором равенстве (1.2).
Лемма 1.2. Если Е — расширение R-модуля А при помощи R-модуля С и если у : С' ->• С — модульный гомоморфизм, то существует расширение Е' модуля А при помощи С' и морфизм Г — = (1а. Р, у) : Е' ->?. Пара (Г, Е') определена однозначно с точностью до конгруэнтности Е'.
