Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Обозначим через Сп группу я-мерных циклов из К; тогда группа Dn — Кп!Сп изоморфна группе i (п — 1)-мерных границ из К- Граничный гомоморфизм д: Кп -*¦ Кп-1 представим в виде
Kn—>Dn—^ Сп~j—>Кп-и (4-2)
где j — проекция, i — вложение. Короткие последовательности Tn:Cn>*Kn-»Dn, Sn:Dn+i>* Gn-»Hn(K) (4.3)
точны, причем вторая точна в силу определения Нп как Сп/дКп-Кограничный дифференциал комплекса Нот (K,G) равен 5 = ±д*, где гомоморфизм д* : Нот (Kn-i,G) ->• Нот (Kn,G) индуцирован дифференциалом д. Этот комплекс появляется как
§ 4. Теорема об универсальных коэффициентах
107
средняя строка в диаграмме
О
О
t
1
О—?Нот(Я„, G)—>Нот(С„, G)—> Hom(Dn+J, Q)
fi*
------» Нот (Кп- ь G) Л Нот (Кп, G) Л Нот (Kn+i, G)—> ...
Эта диаграмма коммутативна с точностью до знака (включенного в определение 6 = ±3*). В этой диаграмме фундаментальная точная последовательность для Нот и Ext (теорема 3.2) встречается несколько раз. Верхняя строка — это точная последовательность для Sn, нижняя строка— та же последовательность для Sn-i с нулем справа, заменяющим группу Ext (Сп~и G), которая исчезает, поскольку группа Cn_t с Кп-1 свободна. Столбцы же являются (частями) точных последовательностей для Tn-i, Т„ и Tn+i, нуль в средней вершине стоит вместо Ext (Dn, G), поскольку группа Dn свободна.
Группа когомологий средней строки равна Кег б/1т б. Поскольку /* — мономорфизм, a i* — эпиморфизм, она равняется Кег (д'* i*)/Im (/* д"*) и отображается при помощи i* на группу Кег д'*, изоморфную Нот (Нп, G) в силу точности верхней строки. Результирующее отображение группы когомологий и есть отображение а. Ядро его равно Im /*/Im (/*3'*); так как /* — мономорфизм, оно совпадает с Ext (Нп-и G) ввиду точности нижней строки. Тем самым точность последовательности (4.1) доказана, причем (3 описывается в «обращающих» обозначениях как /* (5*_i)_1, и поэтому естественно.
Чтобы расщепить последовательность (4.1), заметим, что группа Dn е=; Bn-i cz Кп— 1 свободна, поэтому последовательность Тп из (4.3) расщепляется таким гомоморфизмом ф : Dn ->• Кп, что /ф = = 1в. Тогда ф*/* = 1, так что отображение S*-i(p* является левым обратным для р = /* (S*_i)_1, что и требовалось. Этот левый обратный зависит от выбора отображения ф, расщепляющего Тп. Такой выбор не может быть сделан единообразно для всех свободных комплексов К, поэтому ф* не зависит естественно от К (но зависит естественно от G при фиксированном К).
j,i* fi*
/ 8 Нот (Cn-i, G) Нот (Dn, G) ¦ ¦"¦-» Ext (Нп-1, G) —>• 0.
1 t
о о
108
Гл. III. Расширения и резольвенты
В этом доказательстве несколько раз использовался тот факт, что подгруппы свободных абелевых групп свободны. Аналогичное утверждение справедливо для свободных модулей над кольцом главных идеалов; следовательно, теорема верна для комплекса К свободных модулей над таким кольцом D (и для D-модуля G). Наиболее полезный случай этой теоремы — это случай векторных пространств над полем. Тогда из теоремы 4.1 вытекает *
Следствие 4.2. Если К — цепной комплекс, состоящий из векторных пространств Кп над полем F, и если V — любое векторное пространство над тем же полем, то существует естественный изоморфизм Я” (K,V) ^ Нош (Нп (K),V).
В частности, если V — F, то Нп (К, F) является пространством, сопряженным пространству Нп (К).
Теорема 4.1 является специальным случаем более общего результата, который «подсчитывает» группу когомологий комплекса Нот (К, L), образованного двумя комплексами К и L. Напомним (11.3.4), что Нот (K,L)—это комплекс, у которого Homn (K,L) — П Нот (КР, Lp+n), а граничный гомоморфизм р
д = дн действует на любую я-мерную цепь f = {/р : КР Lp+n} по правилу
(днf)P k = dL tfpft) + (- l)»+« fP-t (dKk), k € /Ср. (4.4)
Общая теорема такова:
Теорема 4.3. (Теорема о гомотопической классификации.) Если К и L — комплексы абелевых групп, причем каждая группа Кп свободна как абелева группа, то для каждого п существует короткая точная последовательность
п Ext (Яр (К), Hp+n+i(L))»Hn(Hom(K,L))%
©=—оо
(4.6)
П Нош(Hp(K),Hp+n(L)),
Р=—-оо
в которой гомоморфизмы $ и а естественны по аргументам К и L. Эта последовательность расщепляется гомоморфизмом, естественным по аргументу L, но не по аргументу К-
Заменим нижние индексы верхними в соответствии с обычным соглашением Я_п = Нп и предположим, что комплекс L = L0 = G имеет нулевой дифференциал; тогда каждое из произведений имеет не более одного ненулевого члена, так что (4.5) превращается в (4.1). Вообще, если мы уменьшим все индексы в L на п (и изменим знак у границ из L на (—1)п), мы превратим Я„ (Нот (К, L))
§ 4. Теорема об универсальных коэффициентах
109
в Н0 (Нот (К, L))', значит, достаточно доказать теорему для п — 0. Теперь в силу (4.4) 0-мерный цикл из Нот (К, L)— это в точности цепное преобразование f: К -> L\ это преобразование индуцирует в каждой размерности р гомоморфизм (fp)*: Нр {К) ->• Нр (L). Семейстро этих гомоморфизмов является элементом
