Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
<а,р', 1) (1. P. V) -
Ьу------> (а?) у----> аЕ.
Но первый множитель этого разложения является в точности таким морфизмом, который был использован в лемме 1.4 для построения а (Еу) из Еу. Значит, в силу утверждения этой леммы об единственности а (Еу) = (аЕ) у, что и требовалось доказать.
Чтобы проиллюстрировать полезность этих лемм, докажем
Предложение 1.7. Для любого расширения Е = (%, а) композиции у.Е и Еа расщепляются.
Доказательство. Диаграмма
?:0->Л-^Б—^С->0
Iй lv II
?':0—>?©С-^С—>0,
в которой отображение v определено формулой vb = (b, ab), коммутативна. Следовательно, определение хЕ из леммы 1.4 показывает, что у.Е задается нижней строкой и, значит, расщепляется. Пусть читатель построит двойственную диаграмму, которая расщепляет Еа.
Предложение 1.8. Любой морфизм расширений Г4 = = (а, Р, у) : Е Е' влечет конгруэнтность аЕ = Е'у.
Доказательство.В силу свойства универсальности расширения аЕ (лемма 1.5) отображение Г! можно провести через Т:Е-+аЕ в виде = Г2Г, где Г2 = (Us Р', у) ¦ аЕ -+Е'. Это последнее отображение характеризует аЕ как Е'у в силу леммы 1.2.
§ 2. Сложение расширений
95
§ 2. Сложение расширений
Прямая сумма А © С двух модулей может рассматриваться как ковариантный бифунктор от аргументов Л и С, поскольку для любых двух гомоморфизмов а:Л-^Л' и у: С-*-С' существует гомоморфизм
а © У : Л © С —> А' © С'
с обычными свойствами (а © у) (а' © у') = аа' © уу' и 1а- © 1с — = 1а©с> Этот гомоморфизм можно определить, положив (а © у) X X (а, с) = (аа, ус), или определить как единственный гомоморфизм, делающий диаграмму
Л*- Л©С ->С
j. <* Ф “фу | V
Л'<-Л'©С'->С'
коммутативной. В этой диаграмме каждая строка состоит из проекций, как и в I (8.12).
Диагональный гомоморфизм модуля С — это гомоморфизм
Д = Дс : С —> С © С, Д (с) = (с, с). (2.1)
Он может быть описан как гомоморфизм, превращающий диаграмму
С=С=С
II II
сДс©сДс
в коммутативную. Кодиагональное отображение модуля Л — это гомоморфизм
У = Уа:Л©Л->Л, V (аи a2) = ai + az. (2.Г)
Он имеет двойственное диаграммное описание: Vix = 1А = Vi2: Л -> Л. Отображения Д и V могут быть использованы для переформулировки обычного определения суммы / + g двух гомоморфизмов /, g : С -> Л в виде
f + g=-^A(f®g)Ac; (2.2)
читатель должен проверить, что при таком определении по-прежнему (/ + g) с равняется /с + gc.
Если даны два расширения Et = (щ, стг): Лг Bt -» Сг для
i = 1, 2, то мы определим их прямую сумму как расширение
Ei © Е2 ’• 0 —^ Ai © А2 —> Bf © В2 —> Cj © С2 —> 0. (2.3)
96
Гл. III. Расширения и резольвенты
Теперь мы превратим Ext (С, Л) в группу по сложению, определение которого использует (2.3).
Теорема 2.1. Для данных R-модулей А и С множество ExtH (С, А) всех классов конгруэнтности расширений модуля А при помощи модуля С является абелевой группой относительно бинарной операции, которая сопоставляет классам конгруэнтности расширений Е, и Ei класс конгруэнтности расширения
Ei-\-Ez — Vа(Е\@Ez) (2-4)
Класс расщепляющегося расширения А >* А ® С -» С является нулевым элементом этой группы, в то время как обратным для любого расширения Е служит расширение (—1А) Е; для гомоморфизмов а : Л ->• Л' и у : С' ->С выполнены равенства
а(Е1 + Ег) = аЕ1-\-аЕъ (Ei + E2)y = Е^ + Е^у, (2.5) (cti + a2) Е = aiE + azE, Е (yi + у2) == ^Yi + Еу2. (2.6)
Композиция (2.4) известна как сложение Бэра; правило (2.5) устанавливает, что отображения a*: Ext (С, Л) Ext (С, А ) и у*: Ext (С, Л) ->-Ext (С\ Л) являются групповыми гомоморфизмами.
Мы дадим два различных доказательства. Первое из них «вычислительное»; оно похоже на вычисления, проделанные в § 1 для того, чтобы показать, что Extz (Zm, А) есть группа AlmA.
Возьмем произвольное расширение Е = (х, а) модуля Л при помощи модуля С, где а: В -» С. Для каждого элемента с из С выберем представителя и (с), т. е. такой элемент и (с) б В, что аи (с) = с. Для каждого г б R разность ги (с) — и (гс) б кЛ в силу точности Е; аналогично если элементы с, d б С, то и (с + d) —
— и (с) — и (d) б *Л. Следовательно, существуют элементы / (с, d) к g (г, с) ? А, для которых
u(c) + u(d) = x,f(c, d) + u (c + d), с, d?C, (2.7а)
ru(c) = ng(r, c) + u(rc), r?R, с б С. (2.7b)
Назовем пару функций (Д g) системой факторов расширения Е. Пусть в течение этого доказательства FR (С,А) обозначает множество всех пар (/, g) функций /, определенных на СхС со значениями в Л и функций g, определенных на RxC со значениями в Л. Каждая система факторов является элементом из FR (С, А),
а Fr будет группой относительно почленного сложения, т. е. отно-
сительно операции (Д + /2) (с, d) = fi (с, d) + /2 (с, d).
