Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
/* = {(Ш Ш Нот (Яр (/С), яр (L)).
р
Любое преобразование гомотопное f, индуцирует тот же гомоморфизм jF*. Поскольку элемент из Я0 (Нот (К, L)) — это гомотопический класс, els /, цепных преобразований (предложение 11.3.2), сопоставление a (els f) = определяет естественный гомоморфизм а, указанный в теорейе. Определение гомоморфизма (3 более тонкое и будет дано ниже. Сначала мы рассмотрим частный случай теоремы.
Лемма 4.4, Если граничный дифференциал в К тождественно равен нулю, то гомоморфизм а = а0 является изоморфизмом
оо : Но (Нот (K,L)) ^ П Нот(/СР, HP(L)).
р——ОО
Док аза тельство. Поскольку дк = 0, Нр (К) = КР-Пусть Ср (L) — группа р-мерных циклов из L, а Вр (L) —: группа р-мерных границ. Любой элемент g = {gp} ? j] Нот (Кр,Нр (Ц) состоит из гомоморфизмов gP' Кр-* Нр (L); поскольку группа КР свободна и Ср (L) -» Яр (L) — эпиморфизм, каждый гомоморфизм gp можно «поднять» до гомоморфизма g’p : КР -*¦ Ср (L). Эти отображения; рассматриваемые как отображения в Lp гэ Ср (L), образуют цепное преобразование /: К -*¦ L, для . которого ос0 (els f) = g. Значит а0 — эпиморфизм.
Чтобы установить мономорфность а0, предположим, что а0 (els /)•= 0 для некоторого /. Для каждого р это означает, что /р (/Ср) ei Вр (L). Поскольку д: Lp+1 -» Вр (L) и группа КР свободна, отображение fp можно поднять до гомоморфизма sp : КР -> -> Ьр+1 и dsp = fp. Поскольку sp_td = sp~idK = 0, последнее равенство можно переписать в виде /р = dsp + sp_id. Отсюда следует, что f цепно гомотопно нулю, следовательно, els / == 0 в Н0 (Нот (К, L)). Поэтому Кег сс0 = 0, и лемма доказана.
Теперь рассмотрим общий случай теоремы 4.3, используя для комплекса JC обозначения (4.2), (4.3). Семейство групп Сп а Кп можно рассматривать как комплекс с нулевым граничным оператором. Аналогичное соглашение для D дает точную последовательность комплексов
(4.6)
110
Гл. III. Расширения и резольвенты
Применим функтор Нош (—, L) для получения другой точной последовательности комплексов
Е: 0 —> Horn (D, L) Нот {К, L) Д- Нот (С, L) —> 0,
в которой нуль справа стоит вместо группы Ext (D, L), исчезающей, поскольку Dn ^ Bn-i cz Kn-i — подгруппа свободной группы и поэтому сама свободна. Точная гомологическая последовательность для Е дает
¦ •. -5 Я0 (Нот (D, L)) Д Я0(Нот(К, /.)) Д Я0(Нот(С, L))^ - r со связывающими гомоморфизмами (для я = 1 и я = 0) дЕ,„:Я„(Нот(С, L)) —» Я„_! (Нот (D, ?)).
Средняя часть этой последовательности может быть описана с использованием Ъе как короткая точная последовательность
0 -> Coker j —> Я0 (Нот (К, L)) -*¦ Кег дЕ, 0 -> 0. (4.7)
Как и в нашей теореме, средний член этой последовательности равен Н0 (Нот (К, L))\ остается отождествить крайние члены, проанализировав дЕ.
Отображение д': D ->¦ С индуцирует отображения d'*:Homn (C,L) Homn_i (D,L), антикоммутирующие с dL, и, следовательно, индуцирует так же отображения групп гомологий. Эти отображения (с точностью до знака) совпадают со связывающими гомоморфизмами дЕ. Действительно, дЕ определяется на циклах с помощью «обращения» как Цикл g из Homn (С, L) —
это семейство отображений {gP:Cp-*~ Ьр+п}, для которых digp — = 0; поскольку группа Dp свободна, КР ^ Ср @ Dp, так что каждый гомоморфизм gp можно расширить до такого гомоморфизма fP : Кр-*- Ьр+п, что dLfp = 0. Поскольку i*f = fi = g, положим i*~xg равным f. Поскольку dLf — 0, формула (4.4) для граничного дифференциала дн в Нот (К, L) сводится к dHf = ± d%f- Теперь дк = id'j в силу (4.2), так что dHf = ±j*d'*i*f, и мы можем считать j*~1dHi*~1g равным ±d'*g. Таким образом, дЕ действительно индуцировано ±д'*. Но изоморфизм а0 в лемме 4.4 естествен, поэтому диаграммы
е„=±а'*
Нп (Нот (С, L))—-------> Н„_1 (Нот (D, L))
|<Ю |оо
п Нот (Ср, Нр+п (L)) П Нот (D^, Нр+п (L))
р р
коммутативны с точностью до знака. Поэтому мы можем отождествить ядро гомоморфизма дЕ с изоморфным ему ядром гомоморфизма
д’* (из нижней строки диаграммы).
§ 4. Теорема об универсальных коэффициентах
111
Теперь применим функтор Нош (—, Нр+п (L)) к точной последовательности Sp из (4.3). Согласно основной точной последовательности (теорема 3.2) для Нош и Ext, мы получим точную последовательность
0-»Нош{НР{К), Hp+n(L))->YLom(Cp, Яр+„ (L))?->
Horn (Dp+u Нр+п (L)) Д Ext (Я, (К), Нр+п (I)) -> 0, (4‘8)
в которой последний нуль стоит вместо Ext (Ср, Нр+п (L)), так как эта группа исчезает в силу того, что группа Ср а Кр свободна. Прямое произведение этих последовательностей по всем р также дает точную последовательность, которая описывает ядра и коядра гомоморфизмов д'* в виде
Кег дя, о а* Кег д'* = П Нош (Нр (К), Нр (L)),
Р
Coker дЕ, 1 ^Coker д'* — Д Ext (Яр (/С), Яр+1 (L)).
