Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
92
Гл. III. Расширения и резольвенты
Доказательство существования. В диаграмме :0 —> Л С' —> О
II |Р 1у (1.3)
?:0^ЛДвДС->0
даны боковые стороны и нижнее основание; мы хотим заменить знак ? модулем и пунктирные стрелки гомоморфизмами так, чтобы диаграмма стала коммутативной, а верхняя строка точной. Чтобы добиться этого, поставим вместо ? подгруппу В' cz В @ С', состоящую из таких пар (b, с'), что ab = ус’\ определим а’ и р следующим образом: а' (b, с') = с', р (Ь, с') = Ь. Этот выбор влечет за собой коммутативность правого квадрата из (1.3). Положив к'а = (ха, 0), мы построим требуемую диаграмму; выполнение остальных условий может быть проверено.
Доказательство единственности. Возьмем любое другое расширение Е" с морфизмом Г" = (1л, (Г, у) : Е" ->-Е. Если В" — средний модуль из Е", то определим р' : В" -+¦ В' равенством р'Ья = (р"6", о"Ь"); тогда Г0 = (U, Р', 1с0 : Е" есть конгруэнтность и произведение Е" -*-Е' ->-Е равняется Г", так что диаграмма Г : Е' -*-Е определена однозначно с точностью до конгруэнтности Г0 расширения Е', что и утверждалось.
Назовем расширение Е' = Еу композицией расширения Е и гомоморфизма у; указанный способ построения постоянно встречается, например, при изучении индуцированных расслоенных пространств (где у — отображение расслоенных пространств). С алгебраической точки зрения расширение Е' имеет следующее «коуниверсальное» свойство.
Лемма 1.3. Б предположениях леммы 1.2 каждый морфизм расширений Г4 = (а1( : Et ->¦ Е, где = у, может быть
единственным способом представлен в виде произведения
и (оь р',1) (1. Р, v> с .. ..
Е i----->Еу------>Е. (1.4)
Более коротко: Г( можно «провести через» Г: Еу Е.
Доказательство. Пусть расширение Е4 = (хь а4) имеет вид Ai » Bi -» С'. (Начертите диаграмму!) Определим гомоморфизм fi':Bi~*'B' так: P'bi = (Pi6j, оф,). Это единственный способ определить Р' таким образом, чтобы pt = РР' и чтобы диаграмма (ai,P', 1) : Ei -*• Е' была коммутативной. Проверка того, что гомоморфизм Р' порождает искомое разложение (1.4), тривиальна.
Между прочим, возможность подобного разложения содержит в себе утверждение об единственности из леммы 1.2, поскольку морфизм Г" — (1А, Р", у) : Е" -*¦ Е представим в силу (1.4) в виде
§ 1. Расширения модулей
93
(1,Р',Т) = (1,Р,Т)(1,РМ) с множителем (1, р',1): Е" -+Е’, являющимся конгруэнтностью.
Теперь мы покажем, что Ext (С, А) есть ковариантный функтор по аргументу А при фиксированном С, построив для каждого расширения Е и каждого гомоморфизма а: А-у А' «композицию» Е' = аЕ, характеризуемую следующей леммой.
Лемма 1.4. Для Е 6 Ext (С, А) и а :А->-А' существует расширение Е' модуля А’ при помощи С и морфизм Г = (а, р, 1с): Е-> Пара (Г, Е') определена однозначно с точностью до конгруэнтности Е'.
Доказательство. Мы должны в диаграмме
?:0->Л ЛяДс-^0
i° уР II 0*5)
Е' ?--»С-^0
заменить знак вопроса и пунктирные стрелки таким образом, чтобы диаграмма стала коммутативной, а нижняя строка — точной. Чтобы сделать это, возьмем в прямой сумме А' @ В подгруппу N всех элементов вида (—аа, ха), где а ? А. Вместо ? в диаграмме поставим факторгруппу (А' @ В)IN и будем записывать элементы этой факторгруппы как (а', Ь) + N. Тогда равенства х'а' — (а\ 0) + + N, о' Ца', b) + N] — ab и рЬ = (0, Ъ) + N определяют отображения, которые удовлетворяют требуемым условиям. Единственность Е’ может быть доказана непосредственно или выведена из следующего «универсального» свойства расширения Е'.
Лемма 1.5. Л предположениях леммы 1.4 любой морфизм Г4 = (аь рь Yi): Е расширений с а4 = а может быть записан единственным образом в виде произведения
(а, р, 1) а.Щ'.п) П
Е------> а Е------->Е!.
Более кратко, Г4 можно тровести через» Е -*¦ аЕ.
Доказательство. Если в расширении Е i = (xt, <Ti) средний модуль Ви то гомоморфизм Р': (А’ © В)IN ->-Bi можно определить равенством Р' [(а', Ь) + АП — х4а' + рib. Тогда можно проверить, что = Р'Р, что (1A-, Р’, Yi) — морфизм расширений и что гомоморфизм Р' однозначно определен, тем самым и заканчивается доказательство.
Из свойства единственности расширения аЕ вытекают конгруэнтности
1АЕ = Е, (аа')Е = а(а'?).
94
Гл. III. Расширения и резольвенты
Следовательно, Ext (С, А) — ковариантный функтор по аргументу А. Из следующего результата вытекает, что Ext (С, А) есть бифунктор (от Л и С).
Лемма 1.6. Для гомоморфизмов а, у и расширения Е из лемм 1.2 и 1.4 существует конгруэнтность расширений а (Еу) = = (аЕ) у.
Доказательство. По определению Еу и а Е существуют морфизмы
с (1. Рь V) „ (а. Pa. 1) „
Ьу------> Е-----> at,
произведение которых равно (а, р2, Рь V) : Еу аЕ. В силу леммы 1.3 расширение (аЕ) у коуниверсально для таких отображений, т. е. (а, р2, Рь у) разлагается в произведение
