Топологическое строение морфологических полей - Исаева В.В.
ISBN 5-02-005337-6
Скачать (прямая ссылка):
I: к к
= grail ^jcpif
}; к
Положив ц =2фк* и U = ^jU)r мы получаем искомое
к к
разложение
J = grad (р + U,
так как U) = <Vr, ^ I ^ <.r, U1;y = 0. Теорема
к ‘ К*
доказана.
Замечание 1. Теорема о разложении имеет яркое применение в термодинамике необратимых процессов вдали от равновесия. Она дает разложение термодинамических потоков У (Л) на диссипативную и педпссииатпвную части. Диссипативная часть есть градиент, он автоматически удовлетворяет нелинейным соотношениям взаимности Он-затера. Отметим, что при этом на исходное поле термодинамических потоков не накладывались никакие требования линейности. Примечательно, что эта фундаментальная теорема о разложении долгое время оставалась неизвестной. несмотря на обилие работ о соотношении Онзагера
it линейном oo.ia. тп и во.пмп or псе. »)та теорема коворнт
II о потенциальности критерия зволюцни Г.ченгдорфа Пригожнпа (Пресной. 1973; Прегиов. Малыгин, MJ8U; см. также: Батан и др.. 1080).
Замечание 2. Термин «днссппатнвность*. о котором только что шла речь. песет физическое содержание. Разъясним его подробнее. Пусть у нас есть термодинамическая система (А'. У), где А'— термодинамические силы и J(X)~ термодинамические потоки. Как пзиестно. производная Ли
функции — (X. А) = по направлению векторно-
го поля J
Lj —Ху /, • • • -г А„ У „
есть но что иное, как' производство энтропии этой системы.
Так как для потоков ^ (А) выполняется равенство X1
?г—у- = U, их естественно называть нодиссипативны-
L4
мн. Здесь уместно упомянуть, что в математики тоже имеется понятие диссипатпвностн. Именно динамическая система
x=J(x)
называется диссипативной, если div /<0. Дивергенция гамильтоново]! системы равна 0: div/V//=0. Подчеркнем, что хотя с термодинамической системой (Л, У) и можно формально связать динамическую систему
AW(A'),
ооа понятия днссипативностп будут отличаться, так что их не следует путать. Высказывалось предположение (Пресной, 1984), что доказанная теорема имеет отношение ь* стохастическому поведению таких систем.
Итак, наше разложение связано с физическим понятием диссинативностн. Интересно. что имеется разложение, связанное с математическим понятием диссипативности. Теорема Ходжа (см., например: Марсден, Мак-Кракеп. J80). Для любого гладкого векторного поля J на иамкн\ Том Романовом многообразии М существует 1» единственно ра сложен ire
grad ?+ Y
такое, что div Y=0. г г0ие3у. Попятно, чю
Применим нашу теорему к м01’1>'’ ческое поле может и любой точке векторное морфоге
РИС . 131. > tiнчтожоиис пары критических точек при перестройке топологии поверхности
оыть представлено как сумма днух или Гюлос компонент. Однако пз ди калан ной теоремы следует, что любое таг.ое поле может быть единым образом и глобально представлено и виде суммы днух полей: одного градиентного и друго го — неградиентного. Вторая компонента как бы измеряют степень отклонения исходного поля от градиентного. Таким образом, произвольное векторное морфогенетическое поле не может быть чисто градиентным полем, вообще говоря. но глобальную градиентную составляющую оно все же может иметь.
В дальнейшем мы будем считать, что градиентная компонента исходного ноля на яйцеклетке детерминируется материнским организмом и определяет топологию дефинитивного паттерна, г. е. градиентная часть кортикального морфогенетического поля представляет собой наследуемую компоненту морфогенеза. Причем активация сперм нем пли без пего включает программу изменения тон составляющей.
Рассмотрим детальнее процесс развития. Потенциал градиентной составляющей векторного морфогенетпческо-го ноля на поверхности япца есть некоторая функция Морса. Она обладает некоторым количеством особенностей. Среди них, в частности, есть критические точки индекса О (минимумы) и индекса 2 (максимумы). Именно в них и происходит впячпваипе и выпячивание поверхности организма. т. е. осуществляется детальный морфогенез. Ряд критических точек индекса 0 и 2 сопряжены, п всего п\' четное число — 2р. Во время встречи этих сопряженных точек в процессе развития происходит п\ взаимное уничтожение и топология поверхности изменяется. Топологически это изменение заключается в приклеивании ручек (см.: Пресной. Исаева. Н)8Г>). Иа самом деле картина может быть более сложной за счет процесса рождения нар сопряженных критических точек, которые также топологически описываются приклеиванием ручек. Таким образом, сферическая поверхность зародыша перестраивается в поверхность рода р (взрослый организм с дефинитивной поверхностью) (рис. 131).
Математика и биология развивались порознь. История открытия и увлечения симметрией биологических форм теряется в веках. Царственная регулярность биологических форм связывалась с единой гармонией мира, в кото рой сплавлены и астетнка, и величественная простота математики. Несмотря на это. значение математики для биологии не все правильно оценивают, считая ее mioiда только аппаратом для статистической обработки зкеперн ментальных данных. Это заблуждение не дает возможности увидеть болсо далекие порснеыпвы матсматн! (Ы.
