Топологическое строение морфологических полей - Исаева В.В.
ISBN 5-02-005337-6
Скачать (прямая ссылка):
Любое скалярное поле порождает градиентное bikt<i Иое ноле. Обсудим теперь обратную задачу: пайти для за Да иного векторного поля г функцию /. градиент которой °сть поле и. Иначе говоря, всегда ли разрешимо \ра i gtad/==i; относительно /. Ответ очевиден: обратная задача
разрешима не всегда. Он следует хотя бы и:» того, что градиент люпин функции на компакте имеет не менее двух особенностей, так как эта функция имеет и максимум, и минимум. В то же иреми можно предъявить пример векторного ноля на сфере с одной особенностью. П связи с ;>тим интересна следующая теорема.
Теорема (Пресиов. 1973; Kdelen. 1973: Меркни. 1П7Г>). Для любого непрерывно дифференцируемого отображения J: В?" существует и единственно разложение
J(r) — gi'acl (f (.г)+U (х),
такое, что <.г, Г(.г))=0 и <р(0)=0.
Доказательство. Пначале докажем существование тако го разложения, предъявив его формулами. Для итого возьмем вспомогательную функцию п(х)=(х. J(x)> и положим 1
> |
Ф (•*¦¦)= y—o(-rx)dj,
О
пусть I (x)=/(.r)— gra«l ([{х). IIpoitepiiM нм кладкой. что <л /'(.г)>=(1:
<.г, I (,с)> = <.r, (J (х) — tri ad (r))> = а (.г) — л 1 п 1
- У 4" ° (т-г)({х ~ п (•' ) - У, xi \* -ГГ (т'г)dr =
1 1 о 7-=г I,
i
= о (.г) — jj~cr(T/') г/т =о (х) — а (х) i- а (0) = 0.
о
I аким образом, существование разложении доказано. Про верим теперь его единственность. 13 самом деле, пусть име* ют с я два таких разложения:
•7=giadc|-H', <х. ( ’>=(),
./=giarh|-Mr, <х, Г>=().
Нычтем п.) первого iiTtipoo и используем линейность i р>) лиента и скалярного произведения:
0=giad(ф—ф) + {(}— Г). <х, (/7—К)>=0.
Отсюда
grad(q — ф)> =—<аг> (t/—Т/)>=0.
По решение однородного линейного уравнения и частных
производных первого порядка сеть icoiict.hiта (гм., напри
мер: Арнольд, Н)78. 198'i). т. е. rp-t|3=const. А так как
{, (О)=^(0)=0, мы получаем откуда Г = V. Доказательство завершено.
Обобщенно. Зта теорема сформулирована и доказана для евклидова пространства R". Ее можно обобщить на произвольное рпманово многообразие М. но мы ограничимся многообразиями бел края.
Теорема (Presnov el al., 1987). Для любого гладкого векторного поля У на замкнутом римаиовом многообразии Ы существует и единственно разложение У=grad ср+/\
такое, что <.г, / >=0, причем потенциал <[ определен однозначно с точностью до константы.
Пояснение. Здесь У и U представляют собой отображения из ^f в пространство касательного расслоения ТЫ. Скалярное произведение < , ) определено в силу того, что риманова .метрика с М поднимается на ТЫ. а Ы канонически вкладывается в ТЫ (посредством нулевого сечения). И локальных координатах, в которых риманов тензор ость единичная матрица, условие Сг, />==0 записывается в
71
виде 2 :c\U\ = U. Это же условие можно и реиисать
короче в тех же координатах. как Lu(zzl2)=,,1 где Д производная Ли но направлению векторного поля t .
Доказательство. Покроем миогоооразне Ы каргам»
(т. е. областями, гомеоморфными евклидову пространств)
К7') так, чтобы образы (при фиксированных н^м^емпр1>
мах R” — 1ГЛ) открытых единичных шаров 1 х/
покрывали многообразие Ы. I) силу на*){1К(,м,1сП'тн^!я.*Г1Н0 гообразпя 1\1 можно считать, что это ноьрыпп * '
конечно. Выберем далее разбиение единицы, но. _ ^
покрытию {Vk) (см., например: ;Ь'бровин и др.. ' упКЦпП определению оно представляет сооон та * <¦ с,.™/йчсГ*
Ъ: что 0^к(х)<1 для всех х*М: «
Для любого /г (символ supp ооозначает но /
Дни г|\. т. е. множество точек х^Ы. в kotoj (х) — I для всех • j р ^ |
^множив иоле У на функцию у\ * МЬ1 '* ая нами в it области ГА. в которой применима^ дп'С0д|1ако мы при-евклидовом случае теорема о разложсhhi; ._Jj ,, <>бла-Меиим зту теорему к векторному полю
mi 1 ,, а и (также евклидовой) области }\\:
J}: = grad фк. -f- / < r, //,-> -= 0.
Вне носителя supp ноле Л равно нулю. В частности, оно равно нулю на 1Г/ДТ’Л и на любом таре B<^Wh\Vk. По нулевое иоле имеет тривиальное разложение: О— = о rail Г+0, где С — константа (впрочем, потенциал вообще онре |>елеи с точностью до константы). Но уже доказанной единствен пости разложения в шаре U функция 0\ тождественно равна нулю в /У, а потенциал ф* есть константа. Раз это верно для любого шара #<=ИГ,Д1\, то. значит. и для 1Г|ДГ„ Таким образом, функция ф* и поле Uh доопределяются непрерывно ii даже гладко соответствен-но roii же константой и нулем на всю область Wк и, более того, на все многообразие Л/. Итак, локальное разложение*
h = grad ф(.- Н- U и
является но существу разложением глобальным.
Выполнив такое разложение для каждого к. просуммируем их вместе. В силу линейности градиента и того, что для каждой точки х^М суммы конечны, мы имеем
J = ¦! Ъ xh = X' Н'к = S (grad ф|; + и,;) « .
