Топологическое строение морфологических полей - Исаева В.В.
ISBN 5-02-005337-6
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим подробнее правильные многогранники.
I реугольные грани имеют только тетраэдр (» ipaiin;. октаэдр (8 гранен) и икосаэдр (20 гранен). 1> каждой i < р ‘чипе тетраэдра сходится ровно три реора, и поэг м\ структурно устойчив. Число ребер, сходящихся в Btjiini 1{(‘* называется степенью вершины. ^ октаэдра rclt*R" иерши|| равны четырем, а у икосаэдра — пяти. оэ' с. . октаэдр п икосаэдр структурно неустойчивы, мальп лен и я могут привести к распадению и\ вершин на ,и( ко иоршпн меньшей степени. Куб имеет С, гРаней, а степени его вершин раины трем и но о. .
структурно устойчив. Наконец, додекаэдр имеет 12 пятиугольных граней п стспсип его вершин также раины трем, потому п он тоже отру К I урно устойчив.
Гм к. топологически одпородп ых I рафон на сфере всего пить. Чнс-
:ю граней v таких графов невсли-
Г11Г. I2S. Одпородилн К() _ ||(> n<».TiOf 2П. а с учетом струк-
уппковка плоскости (она у Уст«»Г|чивостп е.цс мепь-
же развертка гори) 1^>v 4
шо — не более 12.
Перейдем теперь к рассмотрению дробящегося зар >ды-пта. Из вышесказанного по чисто арифметическим соображениям ясно, что не позже, чем после 111 деления дроо-
леипя (S бдастомеров), рисунок па поверхности зародыша неизбежно становится за иодом о топологически неоднородным. Заметим тут мимоходом, что если бы мы жили и двумерном мире, то такое утверждение было бы неверным. так как выпуклый многоугольник может дробиться бесконечно долго, оставаясь при :>том правильным даже в метрическом смысле. Таким образом, факт неоднородности рисунков бластомеров при дроблении является следствием топологического устройства нашего трехмерного физического пространства. Наша идея о топологическом существе позиционной информации наводит на мысль о связи этого факта с явлением гаструлицпп.
Но существу, пяти- и шестиугольники пли другие многоугольники, имеющиеся в топологическом рисунке графа, задают дискретное морфогенетическое поле, которое каждой клетке разопення ставит в соответствие число ее соседей — число смежности клетки, что является локальным порядком поля. Интегральный порядок этого поля *— общее число вершин, ребер п граней данного графа. Согласие) замечательной теореме Зил ера, которая утверждает, что между числом вершин (I») графа, ребер (Ь) и граней (Г) имеется связь
где /,(М) — знлорона характеристика многообразия, на котором расположен граф. Эйлерова характеристика не зависит от способа расположения графа на многообразии, н иолее того, является топологическим инвариантом итого
многоооразня М. Поэтому теорема Пилера представляет сооои позиционную теорему.
Данное определение этого ноля вполне естественно, по
по имеет нужного физического и математического смысля. В нашем конструкции следует ориентироваться на кон стаитмое ноле, равное (>; оно отвечает упаковке ило,кости и тора (рис. 12В). Для приведения ноля к каноническому виду требуется совершит!, калибровочное преобразование — линейное преобразование, сдвигающее нулевое значение поля. Нулевым нолем предлагается избрать упомянутое разбиение плоскости и тора.
С этой целью откалибруем дискретное моле па любой двумерной поверхности, на которой расположен структурно-устойчивый граф, т. е. граф. в каждой вершине которого сходятся ровно три ребра. Обозначим через ///, эле-
г
менты разбиения поверхности Л/ = и через
|т.| — число смежности клетки т{.
Определение. Значение поля для элемента разбиения nii (или кривизна этого элемента разбиения) задается числом
. т
К г — 1 —
G *
Объяснение. Из теоремы Эйлера и свойства структурной устойчивости графа (откуда следует, что В = ~^177г*1
вытекает цепочка равенств г г
i= I i-1
V
-(тН -j-)».l-*W
i=l
1аким образом, интегральная сумма числа К. равна Э1*,и ровой характеристике, т. е. мы имеем дискретным анлл
формулы Гаусса — 11онне
"5Г S К f/o = Ч- (д/)-
•'Де К-гауссова кривлзпа. Пштому число '<¦ Дискретным аналогом гауссовой кривизны и (го «
,1(* называть тоже кривизной. ,1ГТ1.п чаио-
Серпемся теперь к процессу раннего Р*13^ ул1епчое Дьииа. 11овер\ность последнего есть сфер* ' ’ 0П11,,|\
замкнутое многообразие (7.=2). Поэтомv при
делениях дробления только первые четыре блаетомера и могут создавать однородное морфогенетическое иоле па поверхности зародыша. Значение зтого дискретного морфогенетического поля для всех клеток оольше нуля
|___L и). При дальнейших делениях дроблении
ноле на поверх пости народы пт становится некош тап i пым, так' как* однородные* положптел 1»ныо ноля, возможные ДЛИ. (>- и Г2-клоточного разбиения поверхности зародыша при синхронных дроблениях, не встречаются.
Далее естественно считать, что клетки неположительной кривизны являются потенциально возможными местами морфогенетических клеточных перемещении при га-струляцип. Их противоположность клетки положительной* кривизны — являются центрами пролиферации и выпячивания ткани; подобное соображение уже имелось it работе М. К. Пынпюва (Pyshnov, 1980), который предполагал :>то для пятиугольных клеток поверхности крипты кишечника.
