Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
1. Постановка задачи. Все изложенное в настоящей статье относится в равной мере к любым установкам массового использования, и лишь ради краткости мы будем пользоваться терминологией, принятой в приложениях теории вероятностей к телефону.
В теории массового обслуживания принято называть законом распределения f(x) случайной величины ? вероятность неравенства ? > х\ в этом смысле законы распределения и будут пониматься во всем дальнейшем.
Пусть мы имеем дело с телефонной установкой, имеющей п обслуживающих устройств, которые мы для краткости будем называть линиями. На эти линии поступают требования (вызовы). Если в момент такого вызова имеется свободная (незанятая) линия, то вызов занимает ее (одну из них, если свободных линий несколько). Период занятия линии одним вызовом называется разговором; по окончания
*) Теория вероятностей н ее применения, т. 7, вып. 3, 1962, стр. 330—335.
Рукопись настоящей статьи А. Я. Хинчина обнаружена мной в его бумагах 12.6.60 г. Рукопись была полностью подготовлена к печати: перепечатана на малинке, формулы вставлены рукой автора. Бумага от времени пожелтела. Судя по тому, что известная монография Хинчина «Математические методы теории массового обслуживания» была закончена летом 1954 г. н напечатана в первой половине 1955 г., а начиная с мая 1956 г. А. Я. Хинчин уже тяжело заболел, эта рукопись относится к периоду август 1954 г.— апрель 1956 г.
Основной результат настоящей работы был получен Б. А. Севастьяновым в работе «Эргоднческая теорема для марковских процессов и ее приложение к телефонным системам с отказами» (Теория вероятностей и ее применения, т. 2, вып. 1, 1957, стр. 106—116),
Однако метод А. Я. Хинчина может оказаться полезным при дальнейших исследованиях. — Б. Г,
разговора линия освобождается и может быть занята новыми вызовами. Если в момент поступления вызова все я линий заняты, то вызов получает отказ (потерю) и все дальнейшее происходит так, как если бы этого вызова не было. Если в данный момент занято k из общего числа я линий (к=0, 1, ..., я), то мы для краткости будем говорить, что система находится в состоянии k.
Одним из важнейших показателей качества обслуживания для данной установки служат вероятности различных ее состояний. Под вероятностью состояния к при этом всегда понимается доля времени, в течение которого система находится в этом состоянии. При этом имеется в виду, что промежуток времени Г, в течение которого ведется наблюдение, очень велик. В частности, вероятность состояния п, т. е. доля времени, в течение которого поступающие вызовы получают отказы, называется вероятностью потери (или опасным временем). Очевидно, что вероятности состояний зависят как от природы поступающего потока вызовов, так и от закона распределения длительности разговоров. Поступающий поток вызовов обычно предполагается простейшим; это значит, что для любого момента времени а вероятность отсутствия вызовов в промежутке (а, я-|-/) равна е~>л (где % — постоянное положительное число) и не зависит от всего предшествующего течения потока. Что касается длительности разговоров, то, прежде всего, предполагается, что длины различных разговоров не зависят ни друг от друга, ни от того, как протекает поток вызовов.
Пусть F(t)— закон распределения длительности разговоров, т. е. доля тех разговоров, длительность которых превосходит t. Эрланг выводил свои известные формулы вероятностей состояний в предположении F(t) = e~& (0 > 0 — постоянная); это допущение, как известно, вообще значительно облегчает исследование вопросов теории массового обслуживания. Однако ввиду важности задачи позднее был сделан ряд попыток показать, что формулы, найденные Эрлангом, сохраняют силу при любом законе F(t) (иногда этот закон подчиняется некоторым требованиям общего характера, например условию непрерывности) *). Во всех этих попытках
*) См. [1], [2.1.
используется сложный аналитический аппарат и, насколько мы можем судить, так и не приводит к окончательному решению задачи. Лишь в 1953 г. появилась работа Л ундквиста [3], знаменующая собой некоторый сдвиг в этом направлении; с помощью нового, простого и элементарного метода Лундк-висту удалось показать, что формулы Эрланга сохраняют силу и в случае, когда все разговоры имеют одну и ту же длину т, т. е. в случае
f 1 (*<т),
0
Настоящая работа ставит себе целью показать, что некоторое усовершенствование метода Лундквиста позволяет установить формулы Эрланга и для любого закона распределения F(t). При этом все рассуждение не только не усложняется, но, напротив, становится более кратким и обозримым.
2. Обозначения. Значение символов X и F(t) определено в п°1; обозначим через s среднюю длительность разговора, так что
ОО 00
s = — 5 tdF(t)— 5 F{f)dt.
О О
Отрезок времени, в течение которого система находится в состоянии k, мы будем обозначать через Дл. Число всех отрезков Дл за время Т обозначается через Nk. Очевидно, что каждый отрезок Дл начинается и кончается либо вызовом, либо освобождением линии. Обозначим через Ак(Вк) долю отрезков Дл, начинающихся вызовом (освобождением); через ак(Ьк) — долю отрезка Дл, кончающихся вызовом (освобождением), и, наконец, через Аак — долю отрезков Дл, начинающихся и кончающихся вызовом.
