Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Хинчин А.Я. -> "Работы по математической теории массового обслуживания" -> 61

Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.

Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. — 236 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotapomatteoriiobslujivaniya1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 71 >> Следующая

¦д (0 = «_ и F(01ф (0J*-' (0 < А < я).
Для отрезка Ак типа В дело обстоит несколько иначе, так как здесь для всех k ведущихся разговоров время их начала неизвестно; поэтому рассуждение, аналогичное только что нами проведенному, для длин отрезков Ак типа В дает, как легко видеть, закон распределения
(эта формула пригодна и при &=0).
С другой стороны, нас будет интересовать вероятность того, что отрезок Дл того или другого типа закончится поступлением нового вызова в возрасте между t и t-\-dt. Чтобы это произошло, необходимо выполнение следующих двух условий: 1) ни один из k разговоров, ведущихся в данном Дл, не должен закончиться за время t после начала ДА; вероятность этого условия равна, как мы уже видели, f(0I<P(0J*“I Ддя А* 111113 A (0<k<n) и [ф(01* для Ад типа В (0^k<n); 2) первый после начала данного Д4 вызов должен поступить через промежуток времени, заключенный между t и t-\-dt\ вероятность этого условия равна %е~и dt. Таким образом, вероятность закончиться вызовом в возрасте между t и t-\-dt равна
Xe"xt/?(/)[<p(^]*_,rf/t=Xi|)4(0rf/ (0<?<я) (для Дл типа А), Хе~и [<р(0г<*/=Ал|>в(0<И (0 sg & < л) (для Дл типа В).
Вероятность же закончиться вызовом независимо от возраста (т. е. принадлежать типу а) для отрезка Дл того или другого типа А или В получится интегрированием того или другого из только что написанных выражений по t от 0 до оо. Но эта вероятность есть для типа А условная вероятность принадлежать типу Аа, а для типа В— условная вероятность принадлежать типу Ва. Эти жь две условные вероятности в принятых нами обозначениях выражаются соответственно в виде AakjAk и Bak/Bk. Таким образом,
(/)=«—w [ф (01* (0 < А: < л)
ОО
о
00
о
7 А. Я. Хинчнн
7. Определение чисел Л*, Вц и . Мы можем теперь перейти к определению Ак, Вк и Мк, входящих в рекуррентное соотношение (7). При этом мы по-прежнему предполагаем k<n.
Так как фд(/) есть закон распределения длин отрезков
ДА типа А, то среднее значение МАк этих длин равно 00 00
МАк=— = (0 <k<n),
Ф о
и аналогично
00
MBk = J 1|>в (/) dt (0< k < л);
О
поэтому соотношения (11) дают
^=ША (0<кя), (0^k<n). (12)
Из этих же формул в силу (4) получаем
1 -%= 1 -%= 1 -\%MAt
(О <,k<n). (13)
С другой стороны, интеграция по частям и формула (10) дают
00 00
ШВк=К =
Ф Ф
00
= 1 + *5 [ф (01*-1rfq>(0 =
Ф
00
= 1- 7^"и1фМл_,тл=
Ф
к °°
= 1 — — J 1|)д(/)<//=1— ^гМАк (0<?<я). (14)
О
Приравнивая друг другу правые части равенств (13) и (14), мы находим
в то же в силу (2) дает
(о<*<«).
Наконец, в силу (12) и (5) формула (1) дает при 0e?k<n ** = *№+B*MB> =х №k+Bak\ =|S==|*==_^_;
мы нашли, таким образом, числа Ак, Вк и Мк для всех k<n.
Нам остается рассмотреть случай k=n. Легко видеть, что в этом случае
Ап= 1, Вп = 0, {t) = F(t)[ff> (/)]"-,
вследствие чего в силу (10)
00 00
Мя = МАт = J УА (0 dt = J [ф (/)]»-• f (0
о о
00
=-^[ф(*)]"-1*Р(0=-^.
о
8. Формулы Эрланга. Подставляя в рекуррентное соотношение (7) вместо Ак, Вк_1, Мк и Мк-1 найденные нами значения этих величин, мы легко получаем (случай k=n не составляет исключения)
lk]=jlk— Ц (1<*<л),
откуда
w = Tri°i (°<*<«)•
Присоединяя же сюда нормирующее соотношение
2 №=1,
А = «
находим
что и дает известные формулы Эрланга.
Впрочем, ничто в предыдущем не мешает нам считать число линий я бесконечно большим. В этом случае мы получаем также хорошо известные формулы Пуассона
(Л —0, 1, 2, ...).
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1] А. Е. Vaulot, Rev. gen. de l’61ectricit§, 1927, 22, № 26,
стр. 1164-1171.
[2] С. Palm, Ericsson Technics, 1938, 6, № 4, стр. 39—58.
[3] К. Lundkvist, Ericsson Technics, 1953, 9,№2, crp. Ill—140.
ТЕОРИЯ СПАРЕННЫХ АППАРАТОВ*)
§ 1. Постановка задачи и предварительные замечания
В настоящей работе исследуется вопрос о числе потерь и времени ожидания в случае двух абонентов, пользующихся одним и тем же проводом. Для простоты предполагаем, что все разговоры имеют одинаковую длительность, которую мы будем обозначать через Т (единица времени произвольна, мы будем условно называть ее часом). Это допущение может быть, конечно, оправдано лишь в самом грубом приближении, так как, по-видимому, дисперсия длительности разговоров может оказывать довольно существенное влияние на интересующие нас величины; однако развиваемый нами метод позволяет принципиально решить все поставленные вопросы и в случае любого закона распределения длительности разговоров; различие заключается лишь в том, что в случае переменной длительности расчеты становятся значительно сложнее; только по этой причине мы принимаем в настоящем исследовании (основная цель которого — выработка метода) длительность всех разговоров одинаковой. Далее, пусть каждый из двух абонентов в течение часа производит л, вызовов и сам получает я, вызовов (мы допускаем, таким образом, что эти числа для обоих абонентов одинаковы; если бы они были различны, это вызвало бы в дальнейших расчетах лишь самые незначительные усложнения). Величинами я,, я,и J исчерпываются данные задачи: все остальные числа, с которыми мы будем встречаться, должны быть через них выражены.
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed