Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Хинчин А.Я. -> "Работы по математической теории массового обслуживания" -> 60

Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.

Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. — 236 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotapomatteoriiobslujivaniya1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 71 >> Следующая

АЬк, Вак, ВЬк определяются по аналогии очевидным образом.
Условимся говорить, что данный отрезок Дл принадлежит типу А, если он начинается с вызова. Тогда непосредственно ясно, что означает принадлежность отрезка Дл типам В, а,
b, Аа, АЬ, Ва, ВЬ.
Далее, обозначим через Мк(МАк, МВк) среднюю длительность отрезка Дл (отрезка Дл типа А, отрезка Дл типа В), так что
М^—А^МАн + В^МВ* (!)
Наконец, пусть [А] (А=0, 1, я) означает вероятность состояния к, т. е. отношение суммарной длительности всех отрезков Дл за (большой) промежуток времени Т к длине Т этого промежутка.
3. Элементарная статистика отрезков Дл. Из определений п°2 с непосредственной очевидностью вытекают соотношения (0 sg б sg я)
AkJtBk:=ak-\-bk— 1 (2) Аак-{-АЬк=Ак, Вак-\-ВЬк=Вк, \
Аак + Вак=ак, АЬк + ВЬк=Ьк. )
Далее, непосредственно очевидно, что между двумя последовательными отрезками Дл типа Аа должен обязательно встретиться отрезок Дл типа ВЬ, и обратно; из этого следует важное соотношение
Аак=ВЬк, (4)
отсюда и из формул (3) следует
«а=Аак + Вак=ВЬк+Вак=Вк (5)
и аналогично
4. Исходная рекуррентная формула. За каждым отрезком Дл_,(1 «?**=?«) типа а следует отрезок Дл типа А; обратно, каждому отрезку Ак типа А предшествует некоторый отрезок ДА_, типа а. Отсюда
^k-iak-\==^kAk>
или в силу (5)
^к- А-1 == NkAk. (6)
Так как суммарная длительность всех отрезков Дл равна
T\k\, то
м*вЧг' {k=0' 1’ Я)>
Поэтому из (6) следует
Bk_J[k-\\ A„T[k]
Mk_ * — Мк •
ИЛИ
ЩЩ=ВМ?~1[к~П (*=1,2, ..., я). (7)
Эта элементарная рекуррентная формула и служит отправным пунктом при выводе формул Эрланга. Для ее применения необходимо найти величины Ак, Вк и Мк. К их постепенному отысканию мы теперь и переходим.
5, Закон распределения оставшейся части разговора. Пусть в некоторый произвольно выбранный момент времени мы застали ведущийся разговор (наряду, быть может, с другими разговорами). Обозначим через <p(f) вероятность того, что по истечении t сек этот разговор еще не будет закончен. Чтобы подойти к определению функций <р(<), разобьем отрезок времени (0, Т) на очень малые части одинаковой длины т (я ч е й к и). Отрезок какого-либо разговора, приходящийся на одну такую ячейку длины т, условимся называть элементом. Если под нормальным элементом понимать такой, у которого содержащий его разговор по истечении t сек еще не будет закончен, то <р(0 можно статистически определить как отношение числа нормальных элементов к числу всех элементов (точнее, как предел этого отношения при т—>-0). Число всех элементов равно суммарной длительности всех ведущихся в отрезке (0, 7") разговоров, разделенной на т, т. е. равно
где N—число всех разговоров за время Т. Подсчитаем теперь, сколько среди этих элементов будет нормальных.
Число разговоров в отрезке (0, Т), длина которых заключена между и и и-\-du, будет
N[F(u) — F(u + du)] = — NdF(u).
При u< t разговор такой длины, очевидно, нормальных элементов содержать не будет. Если же а > /, то нормальными элементами будут те, которые отстоят менее чем на и — t от начала разговора (более чем на t от его конца). Число нормальных элементов для одного разговора длины «> / поэтому равно (и — t)jx, а число таких элементов для
всех разговоров длины и равно
_tnu-^dFW (u>f)
Суммируя по и это выражение, мы находим, что число всех нормальных элементов равно
00
(и-t)dF(а); (9)
t
для функции <р(/), являющейся отношением величин (9) и (8), мы отсюда находим выражение
00
Ф(*)=^7 j (« — О dF(u). t
Интеграция по частям дает
00
<pw=4j ж** u°)
t
6. Законы распределения длин отрезков Дл различных типов. Рассмотрим какой-либо отрезок ДА типа А и допустим, что 0 < k < п (отрезков Д0 типа А не существует, а случай k—n требует особого рассмотрения, которое будет проведено в дальнейшем). Для того чтобы этот отрезок имел длину > /, необходимо и достаточно выполнение следующих трех условий:
1. В течение t сек после начала Дл не поступает ни одного вызова; вероятность этого условия равна е~и.
2. Разговор того вызова, которым начинается Д4, имеет длительность > i; вероятность этого условия равна F(t).
3. Каждый из тех k — 1 разговоров, которые уже велись в начальный момент Д4, продолжается еще > t сек. Вероятность этого условия ввиду взаимной независимости длительностей различных разговоров равна [<р(<)]*"'.
Так как этн три условия взаимно независимы, то для отрезка Дл типа А вероятность длины > t (закон распределения) равна
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed