Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Как покажет исследование, наиболее интересным при этом будет случай, когда функция A (f) непрерывна; точки же разрыва этой функции, если они имеются, осложняют решение задачи лишь в весьма незначительной степени.
§ 2. Регулярный случай
Условимся ради краткости называть поток без последействия регулярным, если его ведущая функция A (i) всюду непрерывна. В этом параграфе мы будем рассматривать только регулярные потоки. В частности, регулярным будет любой стационарный поток без последействия [так как для такого потока А (/)=№, 0<^А,<^-{-оо].
Пусть для любого стационарного потока и любого &^0, т|>? (/) означает вероятность того, что в промежутке длины t наступит по меньшей мере k событий данного потока. Очевидно, мы всегда имеем
i—k
Убедимся прежде всего, что для стационарного потока условие (2) равносильно соотношению
!>«(<)
•0 (* — 0). (4)
С этой целью заметим, что, как известно ([1], стр. 24), для любого стационарного потока при t—>--{-0
Ш-+ а (0<ас + оо);
но в нашем случае
4>, (0 = Ji V* (О С jl kvk (0=A (t) = U
и, следовательно, a^X<^-j-oo; таким образом, при /—>-f-0 отношение i|>,(0/* в нашем случае стремится к некоторому
конечному положительному пределу, и соотношение
М!—
t *, (О *
показывает, что требования (2) и (4) действительно равносильны.
Условимся теперь называть любой (вообще говоря, нестационарный) поток ординарным, если при любых t > О и в>0 найдется такое 6>0, что для 0^а<р<а-}--j- б < t имеет место неравенство
¦.(«. ?)<«¦,(«, Р). (5)
При этом ф*(а, Р) означает вероятность того, что в промежутке (а, Р) наступит по меньшей мере k событий данного потока. Вместо этого несколько сложного определения ординарности мы могли бы и просто сказать, что
ШИ®—*
равномерно в области 0 а < Р , если бы мы не были вынуждены учитывать возможность равенства ф,(а, Р) = 0.
Для стационарного потока ординарность, очевидно, равносильна требованию (4) (а значит, как мы видели, и требованию (2)). Приведенная нами в § 1 хорошо известная теорема может поэтому быть сформулирована так, что для стационарного потока без последействия ординарность служит необходимой и достаточной предпосылкой формы (1). Теперь мы покажем, что эта теорема распространяется на все регулярные потоки: необходимой и достаточной предпосылкой пуассоновской формы (3) регулярного потока является его [понимаемая в смысле условия (5)] ординарность.
Доказательство. Пусть данный поток — регулярный и ординарный. Его производящая функция
Ф(х, а, Р)= 2 Р) **•
О
как я показал в моей работе [2], может быть представлена в виде
где функции Xk(t) (А=«=0, 1, ...) всюду непрерывный при h > 0 — не убывающие; при этом
Х*(0)*=0(А>0), 2 х*(*)-=о. 2 *Ха(*)< + <» (<>0). а =« д — i
Там же мною показано, что при k > О
(6)
где а=а# < а, <... < as=0 — любое разбиение промежутка (а, Р), и d— max (ar — аг_,).
I
В нашем случае, в силу предположенной ординарности данного потока, для любых t > О и в > 0 найдется такое б > 0, что при 0 sg tt <. tt < tt -f- 6 < t всегда
¦,(*». *»)-
Отсюда
(1 — 8)¦,(<„ <,)<«[¦,(<„ <•) — ¦.(*.. = *ш)
и, следовательно, при в < */*
'I>,(<», tt).
Поэтому, если б достаточно мало, мы имеем при d < б
(“г-1. ar) < 2&vi (“/•- v аг) U < ' < s),
и при k > 1 из (6) следует
(<*/•-!> «г)
О
< ton sup V a^<2elimsup V Mar-i. а,)_
(аг-1' а,) <* - • /Г, "о («г-., «г) “
= 2«1х» (Р)—Х.(а)].
А так как в может быть выбрано сколь угодно малым, то X* (Р) — X* (<*) == 0 (* > 1 )• и мы находим
Ф(х, а, Р) = ехр{[х0ф) — X» («)]+* [х, Ф> — X» («)]}»
или, полагая xt(0 = — Х.(0=Л(*),
Ф(х, а, Р) = ехр {[Л (Р) — Л (а)] (х — 1)},
что равносильно (3).
Пусть мы теперь имеем любой регулярный поток вида (3). Полагая Л(Р) — Л (а) = Л, мы находим
¦» («. р) = 1 — в~А, (а, р) == 1 — #“* — He-h; (7)
так как функция Л (О равномерно непрерывна в любом конечном интервале, то величина Л при р— а—*¦ 0 бесконечно мала равномерно относительно аир. Неравенство (5) тривиально при А=0; если же А > 0, то в силу (7) (а, Р) =
= h-{-o(h), i|>, (а, Р) = о(А), откуда снова вытекает (5), если Р — а (а следовательно, и А) достаточно мало. Таким образом, данный поток — ординарный, и наше утверждение доказано n«uiHOCfbK).
§ 3. Общий случай
Переходим теперь к случаю, когда Л (0 — любая неубывающая функция [Л (0 = 0 при /<0]. В моей уже цитированной работе [2] я называл данный поток сингулярным, если образующие его события могут наступать лишь в заранее определенные моменты времени *Д/=1, 2, ...) (в конечном или счетном числе), а числа событий, наступающих в различные моменты tit представляют собою взаимно независимые случайные величины. В частности, если вероятность наступления k сотытий в момент tt имеет вид
