Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Вот почему нам не нужно искать более точного решения, а следует развивать систематический приближенный метод безотносительно к каким-либо предполагаемым свойствам симметрии системы. Существуют два таких особенно полезных метода; они называются постнъютоновским приближением [1] и приближением слабого поля. Первый из них применим к системам, подобным солнечной, т. е. к системам медленно движущихся частиц, связанных гравитационными силами. Именно такие системы являются предметом рассмотрения в данной главе. Во втором методе поля рассматриваются в приближении низшего порядка, но не предполагается, что материя движется нерелятивистски. Такое приближение применимо для изучения гравитационного излучения и будет обсуждаться в следующей главе. Ясно, что существует область, в которой методы перекрываются, а именно когда частицы медленно движутся в очень слабых полях. Однако ввиду их различных применений эти методы лучше разделить.
Постньютоновское приближение исторически возникло [1] как один из результатов исследования следующей проблемы движения: могут ли уравнения движения массивных частиц вытекать из одних только уравнений гравитационного поля? Согласно точке зрения, принятой в этой книге, уравнения движения в общей теории относительности следуют из уравнений движения специальной теории относительности и принципа эквивалентности.230
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
Поэтому в этой главе мы будем рассматривать постньютоновское приближение как метод, представляющий собственный интерес, а не как часть проблемы движения.
§ 1. Постньютоновское приближение
Рассмотрим систему частиц, которые, подобно Солнцу и планетам, связаны взаимным гравитационным притяжением. Пусть М, и я г — средние значения масс, скоростей частиц и расстояний
между ними. В ньютоновской механике есть хорошо известный
— -2
результат, что среднее значение кинетической энергии V2M v по
порядку величины примерно равно характерной потенциальной -2—
энергии GM /г, поэтому
1?-™-. (9.1.1)
г
(Например, частица, вращающаяся по круговой орбите радиусом г вокруг центральной массы М, имеет скорость v, задаваемую в ньютоновской механике точной формулой v2 = GM/r.) Постньютоновское приближение можно рассматривать как метод описания движения системы на один порядок точнее по малым параметрам GM/r и V , чем это делает ньютоновская механика. Иногда говорят о разложении по обратным степеням скорости света, но так как в нашей системе единиц с = 1, мы будем считать параметром разложения V или, эквивалентно, GM/r.
Прежде всего посмотрим, в чем состоит наша задача. Уравнения движения частиц имеют вид
d2x* , „Ц. dxv dxK „ ¦ і V*. —П--TTm = U.
dx2 1 v'" dx dx
Отсюда можно вычислить ускорения следующим образом: d2x* / dt \ -1 d Г / dt \ -1 dx* 1 _
dt2 ~~ \~~dx) "5тГІІ"їт/ Й J""
dt \-2 d2xi / dt \ - 3 dH dx*
dx2 dx
_ / dt \ - 2 d2x* j _dt_ \ ¦
_ ri dxv dxk ro dxv dxX dx* ~ dt dt + v^ dt dt dt
Более подробно это выражение можно переписать так:
dxi dxh .
dxi , dxi dxh "I dxi
d2xi __ гі 9ГІ dxІ гі dxi dxk ~dt*~~ ~1oo~ OJ-JT 1K dt dt
+ [>„„ + 2Г00, ГО, ^?.] . (9.1.2)§ 1. Постньютоновское приближение
231
В ньютоновском приближении, которое мы обсуждали в § 4 гл. 3, все скорости считались исчезающе малыми и в разности между ^Jiv и тензором Минковского Tjliv удерживались лишь члены первого порядка. При этом мы получали
1 dg00
А2х* At2
00 '
дхі
Но (g00 — 1) есть величина порядка GM/r, поэтому ньютоновское приближение приводит к величине Wx1Zdt2 порядка GMIr , или,
что то же самое, v Ir. Следовательно, цель постнъютоновского
приближения состоит в том, чтобы вычислить значения d2xl/dt2 —і—
с точностью до v Ir. Глядя на уравнение (9.1.2), мы видим, что нам .необходимо иметь компоненты аффинной связности со следующей точностью:
Ггоо, включая члены порядка v Ir, Ti07-, » » » vi?,
Г V, » » » vTr,
-3—
Г°оо, » » » V Ir,
r°0j-, » » » vjr,
T0jk, » » » v/r.
(9.1.3)
Исходя из нашего опыта по нахождению решения Шварцшильда, мы можем думать, что существует система координат, в которой метрический тензор почти равен тензору Минковского T^liv, причем поправки можно разложить по степеням MG/r ~ v . В частности, мы полагаем, что справедливы следующие разложения:
2 4
SrOO — — 1 + goo + SrOO 4" • • • і (9.1.4)
2 4 gij = ^ij + gij+gij +
З 5 giO = giO + giO +
(9.1.5)
(9.1.6)
JV
где символ означает член порядка vN Jb ^liv. Зависимость от нечетных степеней V в gi0 возникает из-за того, что gi0 должно менять знак при обращении времени t ——t. Действительное оправдание такого разложения будет дано ниже, когда мы покажем, что оно приводит к самосогласованному решению эйнштейновских уравнений поля.232
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
тіз .
Обратный метрический тензор определяется следующими соотношениями:
Л» = giogoо + gi}gjo = о, (9.1.7)
S0^ = S00Soo +Л; = 1, (9.1.8)
g^gte = giogjo + gikgjh = б и- (9.1.9)
Мы полагаем, что