Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
/2:
В (г0) *
Тогда уравнение движения фотона имеет вид
VkW+W**™-*1*»-0- (8.7.1)
Из этого уравнения находим время, необходимое свету для прохождения пути от г0 до г или от г до г0:
а потому полное время, которое будет затрачено, чтобы пройти от точки 1 к точке 2, равно (для | фх — ф2 | > я/2)
h» = t Cr1, r0) + t (га, г0). (8.7.3)
Чтобы вычислить интеграл (8.7.2), необходимо снова применить к подынтегральному выражению разложение Робертсона, о котором говорилось в § 3 этой главы, а именно
... , . 2 у MG „ . . . 2 MG А(г)& 1+—jT—, B(T)Olt 1--—
Тогда имеем
~ (i _il\ Гі 2MGr° і
T2H1 r(r + r0)J-
Поэтому в первом порядке по MG/r и MGlr0 (8.7.2) сводится к
го
Интеграл стал табличным, и можно найти время прохождения светом расстояния от г0 до г:
t(r, Г0) ^ V^K +(і+ У) MG X
xln{r_±VIEa)+MG^\ (8.7.4)
Основной член У г2 — rl — это то, чего следовало ожидать, если бы свет распространялся с единичной скоростью по прямым линиям. Очевидно, что другие члены отражают дополнительное 220 Гл. 8. Классические опиты, по проверке теории Эйнштейна
гравитационное запаздывание во времени, которое возникнет, пока радиосигнал дойдет до Меркурия и обратно. (Обратим внимание на то, что это запаздывание прямо противоположно тому, которое следует из аналогии со случаем медленно движущегося тела, скажем, кометы.) Это дополнительное запаздывание максимально, когда Меркурий находится в верхнем соединении и радиолокационный сигнал касается Солнца. В этом случае расстояние г0 примерно равно радиусу Солнца, г0 ж Rq, и много меньше, чем расстояния от Земли Гф и от Меркурия г до Солнца. Поэтому дополнительное максимальное время запаздывания при движении луча туда и обратно задается с помощью соотношений (8.7.3) и (8.7.4) в виде
(Д0макс=2[*(гФ, Д0) + *(г5, Rq)-Vrte-Rh-Vr1i- R2Q] «
5? 5,9 км 11 -j- 11,2 (-—іг~) } • (8.7.5)
Если уравнения поля Эйнштейна верны, то у = 1 и дополнительное максимальное запаздывание
(Дг)Макс «72 км = 240 мкс. (8,7.6)
Не представляет никакой сложности отсчитать с точностью до микросекунд время порядка 20 мин, затрачиваемое радиосигналом на прохождение до Меркурия и обратно. Тем не менее при разборе и интерпретации такого эксперимента возникают чрезвычайно большие трудности.
Одна из трудностей заключается в том, что радиолокационный сигнал отражается не от одной «зеркальной точки» поверхности Меркурия, а от площадки вполне определенного размера, а потому момент прибытия сигнала известен с точностью до нескольких сотен микросекунд из-за его размазывания. Группа Шапиро разрешила эту проблему, измеряя распределения вернувшегося сигнала как по времени прибытия, так и по частоте. Вследствие вращения и орбитального движения Земли и Меркурия каждый элемент отражающей поверхности имеет относительно антенны радара определенную скорость, а потому элемент отражает радиолокационный сигнал с определенным доплеровским смещением частоты. Тогда если известны отражающие свойства поверхности, то, анализируя наблюдаемое распределение возвращающегося эха по времени и по частоте, можно найти время прибытия эха, отразившегося от ближайшей к Земле точки поверхности Меркурия.
Отражающие свойства поверхности можно исследовать, изучая эхо от Меркурия, когда он находится вблизи нижнего соединения, § 7. Запаздывание радарного эха
221
поскольку отношение сигнала к шуму в этом положении наибольшее и никакие известные эффекты общей теории относительности не влияют на время распространения сигнала.
Основная трудность состоит в том, что для вычисления дополнительного времени запаздывания порядка, например, 10 мкс необходимо знать с той же точностью время, за которое радиосигнал прошел бы этот путь в отсутствие -поля тяготения Солнца, т. е. мы должны знать расстояние
с точностью до 1,5 км! Здесь г ^ и г0 — расстояния (в «стандартных» координатах) от центра Солнца до радарной антенны, находящейся на Земле, до ближайшей к Земле точки на поверхности Меркурия и до точки наибольшего сближения сигнала с Солнцем соответственно. Однако одна оптическая астрономия, конечно, не в состоянии определить со сколько-нибудь близкой к указанной точностью положение центров Меркурия и Земли или же радиус Меркурия. Более того, требование столь высокой точности связано с необходимостью определить, имеем ли мы дело со стандартными, изотропными или гармоническими координатами. Можно не сомневаться в том, чтобы даже Военно-Морская обсерватория США не обращает внимания на столь тонкие отличия! Группа Шапиро справилась с этой проблемой, использовав общую теорию относительности, чтобы выразить Гф (t), г ^ (t) и r0 (t) через большой набор неизвестных параметров,
включающих ?, у, MqG, экваториальный радиус Меркурия, а также положения и скорости Меркурия и Земли в некоторый начальный момент времени. Эти параметры были затем определены подгонкой наблюдаемого времени движения радиосигнала до Меркурия и обратно по теоретическим формулам (8.7.3) и (8.7.4).
Первый эксперимент, в котором был использован работающий на частоте 7840 МГц Хейстакский радар Линкольновской лаборатории, проведенный во время верхних соединений Меркурия с 28 апреля до 20 мая и с 15 августа до 10 сентября 1967 г., дал хорошее согласие теории и наблюдений [25]. Чтобы оценить это количественно, укажем, что при вычислении для произвольного у с помощью уравнений (8.7.3) и (8.7.4) времени запаздывания сигнала наилучшее соответствие получается при у = 0,8 ± 0,4. (В предварительном анализе ? было принято за единицу по чисто техническим причинам.) Дальнейшие наблюдения в Хейстаке и улучшенный анализ данных дали следующий результат [26]:
