Оптические свойства полупроводников - Уиллардон Р.
Скачать (прямая ссылка):
^n (г,, гя, .. .Ту) ^ ^ Cn (ке, кл) Фк к (9)
Vkh
тде сумма берется по всем возможным значениям пар импульсов К и к*.
Вид коэффициентов сп (ке, к^) определяется взаимодействиями, которые не были учтены в одноэлектронном приближении. К числу таких взаимодействий относятся кулоновское притяжение .электрона и дырки, взаимодействие с примесями, внещное электрическое поле и т. д. Выражения для некоторых взаимодействий, которые будут рассмотрены, даны ниже в табл. 1. Во многих
Таблица 1
Взаимодействия, влияющие на фундаментальное поглощение
Тип взаимодействия H'
Невзаимодействующая пара 0
Экранированное кулоновское взаи м о действие Гд,
Однородное электрические поле Деформация решетки «Е-(ге— Th) Xefj Wfj{r„) +^efj Wij(Th) і, І ij
Заряженная прммесь Ot I Te \ ' K j Г,, j
случаях взаимодействия можно описывать, пользуясь приближением эффективной массы [12]. С помощью этого приближения можно получить уравнение для определения коэффициентов С„ . В случае невырожденных зон такое уравнение получается с помощью законов дисперсии Ec (ке) и Ev (кд), в которых квазиимпульсы Йк(, и Йкл заменены на операторы ре и рл- Ото уравнение имеет вид
[Ec (ре) — Eb (pft) + II' (ге, rh)] Ijvi (ге, fft) = ?„([:„ (ге, г,,). (10) 172 ,
Е. Джонсон
Здесь H' — оператор возмущения, вызываемого взаимодействием. В случае же вырожденных зон требуется иной подход (см. книгу [13], гл. 7). Коэффициенты сп (kc, к^) — это фурье-образы собственных функций ijj„ (гс, гл) в уравнении (10) метода эффективной массы. Собственные значения равны энергии, при поглощении которой возникают возбужденные состояния еп.
Имеются два класса операторов 11', для которых можно получить простые решения:
1) H' (г„ г,,) = Щ (r,)+ff'h (vh),
2) 1Г (гс, Th) -U'(Te-rh).
В первом случае можно разделить переменные:
і['я (гс, гЛ) - <fl (те) фп1 Ы, (U)
Bn = Bi-\-гт, (12)
так что уравнение (IO) дает
[tfc (Pe) -1-Яо (гс)1 фг (ге) -- Е,фг (Ге), (13)
\EV (рЛ) -1 Hh (Fft)] фт (rh) - е„,ф,(1 (Th), (14)
сн (k„, k/,) = j ф, (r„) dre j <pni (рЛ) e~ihhTn drh. (15)
Во втором случае, когда И' (ге, iv,) — 1Г (ге — г/(), удобно про и з вести замену переменных
]
R (ге + гЛ), Г---Te-IV (16)
При этом канонически сопряжепные импульсы имеют вид
P=-Pe-I-Ph, P=-^(Pf-Ph)' (17)
После замены (1(5) и (17) .уравнение (IO) запишется следующим образом:
[Ec (р + 4 р) + Ev ( - р + у р) H-Я' (г, R)] ^ (г, (г, R).
(18)
Поскольку Hf не зависит от переменной R, оператор P коммутирует с гамильтонианом и решение имеет форму
Цп (г, R) = ifK, г (г, R) = ««»ity (г), (19)
где ц>і (г) удовлетворяют уравнению
[яе (P +У SKm) +я» ( - P + Y ftK™) +11' (r)] V (r) = jMPг (г),
(20) l'.i- 6'. Поглощение вблизи края фундаментальной полосы 17!>
причем
Cn = б (К - Km) { ф; (г) e-lkf dr. (21)
В этом случае вол с сова я функция возбужденного состояния будет л меть вид
1C (ге, гЛ)= 2 « (Km _ к, — Ьа) с, (к) (г0, гл). (22) Vkh е
Таким образом, при суммировании волновому вектору электрона ке соответствует вполне определенный вектор дырки, равный
Kni - к,.
3. ОПТИЧЕСКОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ
Рассмотрим теперь переходы в возбужденные состояния под действием световой волны [14] '). Переход в состояние п сопровождается поглощением фотона с энергией p,,t. Действие (ЮЛЯ иэ.тучения, характеризуемого векторным потенциалом А, определяется матричным элементом
Щ, „ - j VX [ 2 ^r (А, р,)] Чг0 dr, dr2... dry, (23) І
которому с учетом выражения (9) можно придать вид
Я0,п= 2 Mke, ьл) f Фїв.кл[2(АгРі)7^] ^r1 dr2. ..drN.
V H
(24)
Если ввести сюда волновые функции (7) и (8), то интегрирование по координатам каждого электропа можно свести к однократному интегрированию по обьему кристалла, и тогда соотношение (24) преобразуется в вьфа)ь"ение
Il0r „ - - 2 kA) J Vc, Ье (Ар)] ^vi кА dr. (25)
К• кЛ kPiict
Матричный элемент (25) можно записать следующим образом:
H0rn = A0 2 сп (ке, kft) He^ „ (Ье, к/,), (2(5)
tC kIl
где
He, , (к,, к,,) = j tfrtf, к (ар)] kft. (27)
г) См. также [И, стр. 326 174
Е. Джонсон
Если волновой вектор световой волны Madi по сравнению с волновым вектором электрона, то величину а можно вынести из-под знака интеграла. Нетрудно показать, что в случае блохонских волновых функций (if„k = «nke'kr) оптический матричный элемент отличен от нуля только тогда, когда п' Ф п, и, следовательно, при п' = С, Tl = V получим
tf„ в (ke, kA) = j dr< Ve [^r (ар)] uVy к/б (kc І k'O, (28)
T- о.
Hm (kBf kfc) ^ Hc> v (к) б (ke H- kfc). (29)
Если волновые функции uVi к и uCt k заданы. то можно найги матричный элемент прямым вычислением. Чаще же долью исследования является именно выяснение характера волновых функций, или н;е хотят проверить какую-то предполагаемую зонную модель. Матричный элемент, вообще говоря, Слабо зависит от к, и поэтому можно получить более простые и удобные формулы, разлагая матричный элемент в ряд по Степеням (к — к0), где к0 соответствует минимальному расстоянию между зонами. Таким образом,
