Оптические свойства полупроводников - Уиллардон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Я,,„(к)=--Яв, „(к0) + (к-к0)(ук1Я,>„(к)]}1?_-к-0^... . (30)
В случае переходов, разрешенных при k ---k0l вторым членом
можно пренебречь но сравнению с первым вблизи к = к0, и тогда получим
Яс,в(к)«Яе>в(ко). (31)
В этом случае матричный элемент пе дает вклада в спектральное изменение поглощении вблизи порога. Но оп может обращаться в нуль при k = к0. Иными словами, при к = к0 вследствие симметрии переход будет запрещен. Тогда получим
Hct в (к,) » (к-к0).(Vk [Яе, „ (кР)]}к-к[)- (32)
Здесь матричный элемент существенно зависит от электронных состояний в зопс. G учетом формул (29) и (30) выражение (2(5) можно записать в следующем виде:
H0,n& A0Hc „( k0) 2 cn(ke,kft)6(ke + kft) + ке> Ч
-І- A{Vv [На, в (к)[}к_к0 • 2 сп (ке, kh) (к - к0) o (ке+ k(i). (33) l'.i- 6'. Поглощение вблизи края фундаментальной полосы 17!>
Для случая, когда H' не зависит от R1 подставим сюда с„(ке, к/,), из формулы (21):
H0i п « A0Bct v (к0) I сг (к) б (К - кв - кА) б (ке -и kA) -f к
+ A0 ([VkJTc, в (k)]}w^k„. 2 Ci (к) (к - к0) б (К —ке — kA) O (кй H- к„), к
(Щ
так что окончательно имеем
II0, „ яв ^offc, „ (k0) O (К) 2 сг (к) -Ь к
4- A0 „ (к)Ikteko б (К) S С; (к) (к - к0). (35>
к
Если первый член в правой части выражения (35) не равен нулю, то переход будет разрешенным и в первом приближении вторым членом можно пренебречь. В таком случае формула (35) примет вид
H0, „ « AaHc, „ (ко) б (К) [2 сі (к) eikr]r^o = A0Het „ (к) б (К) (0). к
(36)
Квадрат модуля последнего множителя ранен просто вероятности того, что дырка и ллектрон окажутся в одной и той же точке кристалла. Дельта-функция требует, чтобы суммарный импульс возбужденного состояния К был равен нулю (точнее, К = q).
Если первый член в выражении (35) равен нулю, то такой переход будет запрещенным- Мы будем называть его «запрещенным по симметрии». В этом случае
H0, п « A0 |Vktfe, в (k)lk&k0 {2 ^ <Ь) (к - ко) « (К) =
к-
--= A0 j VkЯе. „ (k)]k^t0 [{ V^-^'qp, (r)]^o O (К). (37)
В большинстве случаев, рассмотренных ниже, возбужденное состояние п принадлежит СП-ТОЦІНОМу спектру, для которого вероятность поглощения г]ютоі[а пропорциональна плотности конечных состояний:
Т^-^^м^-мч:- (38)
Здесь предполагается, что уровень Ферми удален на энергетическое расстояние, намного превышающее кТ, от энергетических уровней начального и конечного состояний. Если реализуются 17«
Е. Джонсин
"несколько конечных состояний с одной и той же энергией возбуждения, то вероятность перехода (38) следует просуммировать ло всем конечным состояниям:
^=3^1(^) = ?-Sfi^f-M*)]«[Av-Mft)]f (39)
I 71
откуда получаем удобпую формулу для коэффициента поглощения
«Av-[-?!^-!?.(ft)] ^Av-Bll(A)]. (40)
тп
4. ЗОННАЯ МОДЕЛЬ КЕЙНА
Много денных сведений о зонной структуре можно получить л з данных по фундаментальному поглощению даже при отсутствии детальной модели зонной структуры. Такая информация может послужить основой для создания подобной модели и для «е проверки. Кейн предложил зонную модель [15|, оказавшуюся удовлетворительной для большинства соединений A111Bv. Мы остановимся на этой модели, прежде чем переходити к обзору экспериментальных данных.
Модель Кейна основапа на (кр)-приближении теории возмущений. Подробно (кр)-приблнженио излагается в обзорной статье Кейна 11(5]. Закон дисперсии для энергетических зон антимонида индия, получающийся из расчетов Кейна, приведен на фиг. 1. Для невырожденного материала уровень Ферми лежит в запретной зоне между зонами Ec и Evl. Фундаментальное поглощение связано с переходами между зопами Ec и Evt или Ev2. При больших энергиях фотона могут начаться переходы из зоны Ev3. Изменяя -параметры теории, можно применять эти результаты и к другим соединениям A111Bv. В рамках (кр)-приближепия получаются следующие законы дисперсии зоп:
_hm K4Zf ,,
ZST^1-Y ¦ T^ у i^'
р , Fs L1 л № //,?
— T 2m--2~ L1^4"^ ЗЕЙ.|-2Д \ ' {'o)
A Km АГ. , А»*г F-S /3(?,;а)-|Уг (/,л
+ --T Iі + i^MlfЛ J • С")
Величини /2, /3 — медленно меняющиеся функции энергии, равные единице ири к = U. Их следует рассматривать как покра- l'.i- 6'. Поглощение вблизи края фундаментальной полосы 17!>
вечные функции. Координатные оси ориентированы вдоль направлений (I(X)). Когда вектор к мал и направлен по оси (1()()}, законы дисперсии выглядят значительно проще:
/,' л пчг Г го Ёз Л l/il\
Из этих формуй видно, что величина Eg — это энергия запрещенной зоны, а Д — расщепление валентных зон при k = О (т. е.
Фиг. 1. Зависимость энергий (усредненных по направлениям) зоны проводимости и валентной зопы от A2 для антимонида кидия (из работы Кейпа [15]). Пунктирная кривая —• анергия зоны проводимости, вычисленная без учета высших
зон.
спин-орбитальное расщепление). При малых к энергии зон пара-боличны, и электронная эффективная масса (те) следующим образом связана с параметром тс и массой свободного электрона т:
JL=_L + _L. (49)
тое тс ~ т v '
12—1289 178 ,_Е. Джонсон_
Эффективная масса тяжелых дырок в направлении (100) (обозначим ее через ты) связана с параметром mv соотношением
