Оптические свойства полупроводников - Уиллардон Р.
Скачать (прямая ссылка):
(50)
"lhh тв т ^ '
Величина у' служит мерой искажения энергетических поверхностей зоны Evi. Законы дисперсии, приведенные на фиг. 1, получены усредпением по направлениям. Каждую из величин Es, Д, тс, т„ и у', по крайней мере в принципе, можно определить из эксперимента. Функции /,, /2 и /з определяются выражениями
2
Еа-\-\. Ее +у А Evz +1 A
(51)
/»=4 ^rfr • (52)
A Ec3Jg • (S3)
Отметим, что эти функции монотонно изменяются с энергией в следующих интервалах1):
Ee + А г,
1>/2>0, (55)
1</з<3 + 3-~. (56)
Волновые функции зон молшо представить как линейные комбинации волновых функций S, X, Y и Z1 из которых S обладает свойствами симметрии s-функций при преобразованиях тетра-эдрической группы, а X, Y и Ъ — свойствами симметрии р-функ-ций. функция S преобразуется по представлению Tj (в обозначениях Дресселг,хауза [17J), а функции X, Y, Z — по представлению I14. Когда вектор к направлен вдоль оси s, совпадающей с одной из осей симметрии кристалла, волновая функция зопы Evl,
1J На самом деле интервал измепения Ed2, в котором монотонна функция
/2, гораздо шире, чем указавпый нами.Но анализ уравнения (43) показывает, что можно рассматривать только зпачения Ud2 из интервала от нуля до —2/3Д. l'.i- 6'. Поглощение вблизи края фундаментальной полосы 17!>
зависящая от переменной спина, дается следующим выражением:
"«і (m = ^ г ! -, (57)
а волновые функции
ЗОН ^vZ ИМбіОТ ВИД
f в, (k) [tf?] -f (к) [(X - іГ) «] +Ci (к) [Z?], tt'(k>H , г і -, (58)
(к) [iSa] + bt (к) [ - (X -H iY) ~р] + Ci (к) [Za],
где а и ?—спиновые функции.
При^к — 0 волновые функции принимают вид
( US?l.
"«Ml*«), <59>
f [(X-HV)^a], м»і(0) = і г 1 1 W
«Л (O)- і . І , ,; |- , 2 1/2 (01)
"«Л(O)H /2.1/2Г 4 -, м.1/2 (62)
(т) а].
Для зоны проводимости только коэффициент ас не равен "нулю, так что волновые функции обладают симметрией s-функций. Для валентных зон только b и с пе равны нулю, так что волновые функции обладают симметрией р-функций. Зона E01 сохраняет симметрию р-функций и при k^tO, тогда как симметрия других валентных зон становится сметанной. Общий вид [іозффициен-
12* 180
Е. Джонсон
тов таков:
а --L ь__-__"^a ес с _ JLl^ , т)
«С- ^c , "е-^e 3(jeA + ec) + 2A AP ' cC-NckP V'0>
ав t = 0, fe„ ( = 1, Cui = O1 (64)
1Z-D/, 1 V2A ^2-Eg І
еи2 + у л
(65)
_ 1 . р і _ 1 V2 дев3 -b-Eg _ 1
ND2 "Nvs З 1 . '
(66)
причем здесь
р /іл — к na _ P rm __
2w
= (67)
Величина Ar? = ArI (fc) — нормирующий множитель, который выбран из условия а? + fei -+-с* = 1. Теория связызает параметры Д, тс, и у' с определенными матричными элементами. Например,
1 0 />2 Л
^T = 2 Я a Eg(EgJrA) • ^68)
где
^=-4^1^12), (69)
л 3ftі /v I dV dV !
Здесь V — кристаллический потенциал.
§ 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ПРИ ОТСУТСТВИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
І. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
Сначала мы рассмотрим фундаментальное поглощение в отсутствие взаимодействий. Строго говоря, такое положение невозможно, поскольку всегда существует кулоновское взаимодействие между электроном и дыркой. По благодаря экранирующему действию носителей и примесей это взаимодействие должно быть очень слабым. Экспериментальные данные, полученные при высоких температурах на не очень чистых образцах, подтверждают l'.i- 6'. Поглощение вблизи края фундаментальной полосы 17!>
справедливость предположения о том, что кулоновским взаимодействием можно пренебречь. Эффекты, связанные с кулоновским взаимодействием, наблюдаются только в чистых образцах при низких температурах. О таких эффектах будет сказано в § 7-9.
В отсутствие кулоновского взаимодействия применимо оптическое правило отбора (K = O), и волновая функция относительного движения электронно-дырочной пары удовлетворяет уравнению
[Ee (р) - Ev (- р)] фг (г) = егф( (г). (71)
Рассмотрим сначала случай простой зонной структуры, когда энергию носителей в зонах можно представить следующим образом:
р fta*2 F -f л. Ш2 т\
В этом случае уравнение (71) принимает вид
|гЧМ*>=<ві-Я*)<М'). (73)
где р, — приведенная масса электрона и дырки. Уравнение (73) имеет следующие собственные решения:
ЧМг)=«<к''. (74)
Фурье-образ этой функции будет представлять собой, очевидно, дельта-функцию от It1 так что возбужденные состояния соответствуют электронно-дырочной паре, частицы которой не взаимодействуют:
Tri = Ok =k2(fch_ki. (75)
Оптическое поглощение будет иметь порог при энергии фотона, определяющейся соотношением
A2A2
= + (76)
Плотность конечных состояний дается следующим выражением:
PW=^Itr1=W- <77>
Матричный элемент для разрешенных переходов в соответствии с формулой (3ft) имеет вид
7/0.^Л^(0)Й(К), (78) 182
Е. Джонсон
так что для коэффициента поглощения имеем
= ~ (^yh IHcv (0) {hv -Eg)lh ~ A (fcv- Eg)J/\ (79)
Точно так же можно получить коэффициент поглощения для случая запрещенных переходов:
ah,=^- l^ihv-E^^A' (Л/v — Egfii- (80)
Рассмотрим теперь следствия, вытекающие из кейповской модели энергетических зон. Согласно этой модели, фундаментальное поглощение вблизи края связано с прямыми переходами между зоной проводимости и валентными подзонами с энергиями Evi и Ev2- Те и другие переходы разрешены при k = 0. Взяв волновые функции зон, определяющиеся формулами (59) — (61), можно вычислить оптический матричный элемент для каждого типа перехода и усреднить квадрат его модуля по всем поляризациям. Такой расчет приводит к одинаковому выражению для обоих типов перехода:
