Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
равна нулю, и силы притяжения a) (С+) не возникают. Если же они на-
правлены под углом друг к другу, то их можно разложить на составляющие вдоль прямой, со-единяющей осцилляторы, и перпендикулярно к ней, так что и в
Рир Q4
этом случае возникает притяжение.
4. Формулу (52.10) можно преобразовать, введя в нее поляризуемость |3 атома в постоянном электрическом поле по формуле р = ех = |ІЕ. Так как в случае гармонического осциллятора сила, действующая на заряд е, равна цсо02л:, то при равновесии ца>1х = еЕ = ех/$, откуда е2Дцсо^ — (3. Эта формула
получена здесь классически, но она может быть найдена также
из дисперсионной формулы квантовой механики. (Поэтому-то силы Ван-дер-Ваальса и называют также дисперсионными.) В результате получается
U(R) = -^±r, (52.11)
где є = tm — разность между соседними энергетическими уровнями гармонического осциллятора.
Результат (52.11) существенно не меняется и для реальных атомов. В этом случае во втором приближении теории возмущений квантовая механика дает
?/(/?)=---г. (52-12)
') Притяжение является следствием того, что дипольное взаимодействие осцилляторов уменьшает их общую нулевую энергию. Это можно доказать и не прибегая к разложению частот toi и (Ог в степенные ряды. Действительно, из (52.5) получаем
ш'| + со| = 2со q.
Поэтому, рассматривая квадраты частот как стороны прямоугольника и квадрата, на основании известной геометрической теоремы находим <-
или С0[Ш2 < Значит,
О}2 + 2(0^2 + 0>2 < 4с00’ или (со, + С02)2 < 4<Вд,
01, + (о, < 2<о0.
А к установлению последнего неравенства и сводится доказываемое утвер ждение, -
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СИЛЫ
337
где / — энергия ионизации атома, a k — численный коэффициент порядка единицы.
В заключение поясним с другой точки зрения, почему ди-польное взаимодействие молекул приводит к притяжению между ними. Притяжение наблюдается тогда, когда молекулы обращены друг к другу разноименными зарядами (рис. 93, а), отталкивание — когда одноименными (рис. 93,6). В первом положении потенциальная энергия взаимодействия молекул, зависящая от их взаимной ориентации, минимальна, во втором максимальна. Первому положению соответствует устойчивое равновесие, второму — неустойчивое. Согласно формуле Больцмана при термодинамическом равновесии, например газа, первое положение более, а второе менее вероятно. В первом положении молекулы проводят большее время, чем во втором. Результирующим эффектом взаимодействия будет притяжение.
ГЛАВА VII
НЕКОТОРЫЕ МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
* *
§ 53. Возможные состояния частицы в ограниченном объеме
1. В § 82 т. II были изложены основы квантовых статистик Бозе — Эйнштейна и Ферми —Дирака для идеального газа. Были получены выражения для среднего числа частиц в одном квантовом состоянии при заданной температуре Т. Однако что это за состояния, которые может принимать частица, и каково их число в заданном интервале энергий — об этом до изложения основ квантовой механики, естественно, ничего не могло быть сказано. Теперь мы решим этот вопрос для произвольной нерелятивистской частицы, подобно тому как он был решен для фотона (см. т. IV, § 117):
Пусть частица находится внутри сосуда, который для простоты вычислений будем считать кубом со стороной L с непроницаемыми стенками. Стенка представляет собой потенциальный барьер: внутри сосуда потенциальная энергия частицы постоянна и принимается равной нулю, а при приближении к стенке неограниченно возрастает до бесконечности, оставаясь таковой при переходе через стенку. Такие предположения относительно потенциального барьера необходимо ввести, чтобы полностью исключить возможность выхода частицы из сосуда (см. §§24 и 28).
Сначала будем предполагать, что частица не обладает спином. Стационарное состояние такой частицы внутри сосуда описывается волновой функцией \|), удовлетворяющей уравнению Шредингера
У2,ф -f- k2fy = 0, (53.1)
где
ft2 — 2ц<?Г/й2 = р2/Й2. (53.2)
На стенках сосуда функция \|> должна обращаться в нуль, чтобы частица не могла выйти из сосуда.
Частное решение уравнения (53.1) можно найти методом разделения переменных, полагая (л:)(г/)(г), так что
V4 = -ф" (х) ^ (у) (г) + (х) 1|з" (у) % (z) + ^ (х) (у) •ф" (г).
Подставив это значение в уравнение (53.1) и разделив его на
ib, получим
(*) , Ъу (У) , (z) ===_ U2
Ух(х) Фіг (у) tz(z)
СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ е ОГРАНИЧЕННОМ ОБЪЕМЕ
339
Это уравнение должно выполняться, каковы бы ни были значения х, у, г. Первое слагаемое есть функция только х, а потому оно не зависит от того, какие значения имеют у и z. Если фиксировать у и 2, то последние два слагаемых в левой части уравнения станут постоянными. Но тогда будет постоянным и первое слагаемое ф" (л:)Л|>х (х). Такое же рассуждение можно провести и в отношении остальных двух слагаемых. Таким образом, должны выполняться уравнения
<W___ <(у) _ *±1±__ь2 (5з о)
*• Ъу(У) «' Ъг(г) — ** (
где kx, ky, kz — постоянные, удовлетворяющие соотношению
К + kl + kl = k'K - (53.4)
Все эти постоянные должны быть положительными; в противном случае нельзя удовлетворить граничным условиям, как это будет ясно из дальнейшего. Общее решение первого уравнения
