Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
хп—1=0, (1)
или, что то же, свойств корней /г-й степени из единицы. Для наглядности будем иллюстрировать получаемые соотношения, прибегая к геометрическому истолкованию корней /г-й степени из единицы, как вершин правильного /г-угольника, вписанного в круг единичного радиуса.
Как мы видели выше, все п корней уравнения (1) є0, S1, s2,...,S72^1 получаются по формуле:
Ч = 008^-+^111^ = e« (S = O, 1,2,...,л-1). (2)
Отсюда легко видеть, что при любом k
е* = Ы*- (3)
Таким образом, все корни п-й степени из единицы могут быть
2-і
получены как последовательные степени первого корня S1 = еп (корень s0=l, общий для всех уравнений хп—1=0 представляет тривиальное решение):
- е 2 р 3 р п- і
?1» wl » Є1 9 *" >С1 - 1 9
причем, заметим, в этом случае сохраняется расположение корней в порядке возрастания их аргументов, это расположение будем называть натуральным.
В геометрическом истолковании умножение на еп есть поворот2) на угол — . Предложение (3) допускает, таким образом, следую-
Tt
щую, совершенно очевидную, геометрическую интерпретацию: все вершины правильного /г-угольника могут быть получены из первой
его вершины (A1) путем последовательных поворотов на угол —
Tt
(черт. 3; п = 8).
г) Эго предложение может быть доказано €ще так. Полагаем х = а»у и поставляем в данное уравнение:
апуп — а = 0; ауп — а- 0; —1) = 0; уп—1 = 0.
2) Умножение на комплексное число z = р (cos ср -f / sin <р) = р ещ равносильно, как известно, растяжению модуля в р раз и повороту на угол
14
Покажем следующее свойство корней уравнения (1). Если є -є' корни п-й степени из единицы, то их произведение є-г', частное
—¦, а также любая целая степень efc, представляют собой тоже
корни /г-й степени из единицы.
В самом деле по условию en = 1 и є'" = 1, тогда:
(?.?7^?".а'"=Ы^1
(є*)п = акп = (г")* = 1 * = 1.
Таким образом, предложение доказано. Геометрически оно иллюстрируется так: при повороте какой-нибудь вершины правильного м-угольника (в положительном или отрицательном направлении) на
угол, соответствующий другой (или той же самой) вершине этого /г-угольника мы получим опять некоторую вершину этого же многоугольника.
Пусть є — какой-нибудь корень П'Рі степени из единицы. По доказанному, в бесконечной последовательности
каждый член является корнем п-й степени из единицы. В этой последовательности содержится в 'частности и член, равный 1. Таким
будет ?o всяком случае єп, но может оказаться равным единице в какой-нибудь из предшествующих членов. Пусть т — наименьший показатель, при котором
гт = 1.
Мы скажем тогда, что корень г принадлежит показателю т.
Показатель т, к которому принадлежит какой-нибудь корень п-й степени из единицы должен дыть делителем числа п.
Докажем это. Пусть є— принадлежащий показателю т корень /г-й степени из единицы.
Допустим, что п— mq-]-r(0^r<^m). Тогда
еп_етд + г = (етуег_ег^ ^ е<
єг = 1. И так как г<С,пг9 то если бы г было отлично от нуля, это противоречило бы тому условию, что є принадлежит показателю т. Итак, г = 0 и, следовательно, n = m-q, т. е. т — есть делитель/г.
Если корень є уравнения хп—1=0 принадлежит показателю /г, т. е. является корнем данного уравнения, но не удовлетворяет никакому уравнению хп—1 =0, степени меньшей, чем п9 то такой корень называется первообразным корнем уравнения хп —1=0, или, просто, первообразным корнем /г-й степени. Таким корнем наверно является первый корень
B1 = е п 9
2 к Xk
так как = 1, но є* = е п ф\ (при k < /г). Но кроме S1 существуют еще другие первообразные корни.
Вершину /г-угольника, соответствующую первообразному корню, мы назовем собственной вершиной. Собственная вершина /г-угольника не принадлежит никакому многоугольнику с меньшим, чем /г, числом вершин. Такой вершиной наверно является первая (после начальной) вершина /г-угольника.
Основным свойством первообразных корней является следующее: Если г есть какой-либо первообразный корень уравнения jcn —1=0, то ряд из п последовательных его степеней:
г, г2,.., г"-\ гп=\ (4)
представляет все п корней /г-й степени из единицы (в отличном, вообще говоря, от натурального расположения порядке).
2гЛ
Мы видели, что этим свойством обладал первый корень S1 = е п . Покажем справедливость этого для всякого первообразного корня. В самом деле, каждый член написанного ряда есть корень данного уравнения, и все они между собой различны. В самом деле, если предположить, что при k ^> I rk = г1, то гк~~1 =1, а так как к — K^n9 то г не был бы первообразным корнем,- что противоречит условию.
Отмеченное свойство первообразных корней показывает, что для решения двучленного уравнения хп— 1 =0 достаточно найти только один его первообразный корень; все остальные корни будут получены из найденного первообразного корня путем последовательного возвышения его в степень.
Если корень не является первообразным для уравнения Xа— 1 = 0, то он принадлежит к некоторому показателю m (т — делитель п) и, следовательно, будет первообразным для уравнения хт— 1 = 0 низшей степени.
