Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8.2. Глобальная структура поля пробного заряда в пространстве-времени вечной черной дыры
При изучении процессов, происходящих вне черной дыры, естественным является описанный в предыдущей главе подход, состоящий в том, что с
помощью фиксации определенным образом выбранных граничных условий на поверхности черной дыры физическая задача в полном пространстве-времени сводится к задаче во внешней области. Обладая рядом достоинств, этот подход по своей природе является неполным, поскольку в нем целиком исключаются из рассмотрения все явления, происходящие внутри черной дыры. Следует подчеркнуть, что изучение подобных явлений и, в частности, детальное описание особенностей фиэи-
Рис. 72. Диаграмма Пенроуза для полного пространства-времени черной дыры Рейс-снера - Нордстрема
160
ческих процессов в тех областях пространства-времени, где согласно классической теории должны находиться сингулярности, представляют важную задачу физики черных дыр. В этих областях, где кривизна пространства-времени велика, в полной мере проявляются квантовые особенности физических взаимодействий. Общий вопрос о структуре пространства-времени внутри черной дыры мы обсудим в гл. 12, после того как изложим теорию квантовых эффектов в черных дырах. В настоящем параграфе мы рассмотрим частный вопрос о структуре физических полей, создаваемых пробными зарядами в полном пространстве-времени черной дыры. При этом рассмотрении мы считаем метрику черной дыры заданной и пренебрегаем влиянием на нее поля пробного заряда.
Пусть пробный точечный заряд электрического (е) или скалярного безмассового (g) поля покоится вне заряженной вечной черной дыры*). На рис. 72, на котором приведена диаграмма Пенроуза для рассматриваемого пространства-времени, мировая линия этого заряда обозначена у. Метрика Рейсснера — Нордстрема, описывающая гравитационное поле заряженной черной дыры в координатах t, г , покрывающих область I на этом рисунке, имеет вид
ds2 = ~F(r)dt2 + F~x(r)dr2 + r2du>2, /'
(8.2.1)
F=I- 2M/r + Q2/r2, du2 = d62 + sin2# dip2,
где M — масса, a Q — электрический заряд черной дыры.
Электрическое (Ali) и скалярное (р) поля, создаваемые пробным зарядом, покоящимся в точке г0, O0, ^0, определяются как решения уравнений [см. (П. 47), (П. 50)]
Ftiviv =4я/", Ffiv = 2і41р.м1, (8.2.2а)
?^>=-4яр, (8.2.2Ь)
где
^3(X-X0) J-Ett(X)
Г(х) = еЬ%—~~ , Р(х)=-к —....................5л(лг-лгп),
V-SW у/~g(x)
63 (дг-дг0) = 5 (г- /¦<,)5(в - в0)5(р - Ifi0). (8.2.3)
Решения этих уравнений вне черной дыры (в области I) были получены Лине (1976) и Лейтом, Лине (1976), обнаружившими и исправившими небольшую неточность в формуле, выведенной ранее (при Q = 0) Konco-ном (1928). Эти решения имеют вид **) [ср. с (7.4.1)]
>M*) = fi2eGem (*.*.))> Gem (•*. *о)=--------------------^ + ~)> (8.2.4а)
ГГ0\ RJ
^(x)=gF(r0)ll2Gsc(x,x0\ Gsc(x,.v0) = —, (8.2.4b)
R
*) Отметим, что такая постановка задачи в известной мере является идеализированной из-за неустойчивости, присущей подобной черной дыре (см. § § 12.2 и 13.2).
**) Строго говоря, уравнение (8.2.2а) Справедливо лишь для полного электрического поля (т.е. для суммы поля пробного заряда и поля черной дыры). Если поле
11. И.Д. Новиков
161
где
R2 =R2(x,x0) =
= (г - M)2 + (r0 - M)2-Kr - M)(r0 -М)\-(M2 -<22)(1 - X2),
П = П(дг,дг0) = (г - М) (r0 -M)- (M2 - Q2)\
X = cos в cos в0 + sin в sin в0 cos(р - V0). (8.2.5)
Используя метод аналитического продолжения, можно распространить это решение из области I на все пространство-время. Для этого введем в областях I, II, і', II' координаты и,и,в,#, регулярные в этих областях и связанные в области I с координатами г, t, О ,<р соотношениями
и = -ехр
Г г+ - Г.
L 2rl
и-п
>1 + I >1 I
, V = ехр
. 2г\
Г* =I- +
d
г+ - Г-
г г2 г
In — -1 =— In — -1
Г+ Г+ -Г_ г _
Q2 в- - О, ір-*р.
г± = M ±VM2 — Q2, в=в, V = V- (8.2.6)
При —°°<u,v<°c, (0,1^) Є5: эти координаты покрывают области I, II, I , Il', и аналитическое продолжение метрики Рейсснера - Нордстрема (8.2.1) в них имеет вид
ds = - 2Bdudv + r2do}2, (8.2.7)
где
2r\ (r-r+)(r~r_)
В = —;— --------------------;- ехр
Ow-)*
а г = г(и, у) определяется уравнением
In
!)№)]¦
(8.2.8)
г
г+ - /_ I Г_
Отличные от нуля компоненты аналитически продолженных решений
(8.2.2) в этих координатах суть
А
(8.2.9)
е ( II \ r\ I dv du \
A=AtldXtl------------M +-------)---------- ---------------V
п0 \ R ) r+ - r_ \ V и }
Br2 г..
M + -
п
— [/0 -M -(r-M)cosO](rl-2Mr0 +Q2) і ,
pve _
sin0
R3
..2
(/'S - 2Mru + Q2 )V,
(8.2.10)
пробного заряда рассматривать как возмущение, то уравнение для этого возмущения отличается от (8.2.2а) членами, описывающими возмущение гравитационного поля (см. § 8.4). Мы, следуя работам Лине и Лейта, опускаем эти дополнительные члены, что не изменяет общего вывода об особенностях поля внутри черной дыры. При 0 = 0 эти дополнительные члены отсутствуют.
