Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Длина V. принимающая в критической точке конечное значение Яе, характеризует пространственную структуру корреляций. Эта структура носит макроскопический характер, поскольку he — макроскопическая длина.
Длины V в критической точке обращается в бесконечность. Это свидетельствует о том, что корреляции не затухают в пространстве, а находятся в самоподдерживающемся режиме (подробнее см. разд. ?2.5).
Фазовое пространство и многомерное фундаментальное уравнение
323
нарушение вызвано тем, что поведение различных пространственных областей системы не независимо — эти области связаны длинноволновыми корреляциями.
В противоположность этому, если рассматривать флуктуации в малом кубе, сторона которого Л/ намного меньше характерной длины \с, то можно показать, что среднеквадратичное отклонение по-прежнему с хорошей точностью определяется пуассонов-ским распределением (116]. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим выражения (11.70) н (11.80) для кумулянтов в пределе непрерывной системы и вычислим величину
<в**)д,= \йг,йг2шхЦг,, г,) = Ы{Х) + \\а-гхйггОХХ(гх, г2).
Оставляя лишь длинноволновое слагаемое в** (г\, г2) в (11.80), ниже критической точки в ее окрестности получим
(6Х*)&[=*{Х)ы[1+0(Ыа)'] а> 0. (11.87)
Таким образом, когда размеры рассматриваемой подсистемы малы, она не «чувствует» длинноволновых корреляций и остается в пуассоиовском режиме, если только справедливы стационарные выражения для М или С, использовавшиеся в последних двух разделах. Нас же интересуют явления в предпереход-ной области, сопровождающие появление неустойчивости, поэтому стационарное приближение справедливо.
Однако прк прохождении критической точки макроскопических уравнений в представлении ячеек [см. соотношение (1).75)] из-за расходимости форм-фактора поведение корреляционной функции становится аномальным. Следовательно, на этой стадии необходимо считать, что зависящие от времени решения уравнения (11.55) описывают рост критической моды в окрестности критической точки сверху. По мере роста этой моды отклонение М,-, от луассоновского значения (56^) становится все более заметным. Таким образом, в уравнениях для средних значений X и У появляется новое слагаемое:
Макроскопическое выражение+ Отклонение от (1/.88)
пуассоповского поведения.
На ранних стадиях роста влияние нового члена на {X}, <У> остается малым из-за наличия множителя 1/(га+ 1) (или 1/1 в пределе непрерывной системы) перед корреляционной функцией, соответствующей отклонению от пуассоповского поведения. Однако по истечении макроскопического интервала времени эти члены становятся существенными, и в результате система переходит в новый макроскопический режим. Эта ситуация
11*
324
Глава II
до некоторой степени напоминает теорию образования зародышей, описывающую равновесный переход жидкость — пар. К этому вопросу мы вернемся в гл. 12, где изложено упрощенное описание диффузионных эффектов.
Интересная модель кинетики флуктуации в закрптическон области была изучена методом Монте-Карло в работе Хануссе [154]. Этот автор рассмотрел автокаталитическую модель со множественными переходами между стационарными состояниями (см. также разд. 12.6) и изучал эволюцию исходного распределения вероятностей, сосредоточенного вблизи одной из макроскопически устойчивых ветвей. Если диффузия происходит медленно по сравнению с протеканием химических реакций, то при пересечении точки, соответствующей правилу Максвелла,
О то 200
Время
О 100 200 300
Время
Рис. 11.8. Образование зародышей в модельной системе, характеризуемой мпожествеквыми стационарными состояниями.
о — иэмевенце дисперсии во вречеца; 6 — иэыеневне среднего значения но времени. Быстрый рост дисперсии начинается при появлении в система достаточво большого «зародыша* (точки Л и В на крияой 6).
Фазовое пространство а многомерное фундаментальное уравнение
325
наблюдается быстрый переход на другую устойчивую ветвь. Если же диффузия быстрая, то начальное распределение имеет конечное время жизни. Через некоторое время в системе появляется один или несколько доменов, в которых концентрации химических соединений близки к значениям, соответствующим другой ветви. В дальнейшем эти зародыши растут и вовлекают за счет диффузии остальную часть системы на новую ветвь решений.
На рис. 11.8 показана временная эволюция среднеквадратичного отклонения и среднего значения в такого рода численном эксперименте, В точке А (рис. 11.8,6) возникает первый зародыш, а в точке В — второй. В точке С оба зародыша почти одновременно достигают границ системы, затем образуются два сходящихся волновых фронта, которые исчезают при достижении точки ?>, соответствующей среднему значению па другой ветви.
Наконец, если диффузия происходит очень быстро, то начальное состояние существует сколь у [-одно долго. Такой случай соответствует метастабильности, известной в теории равновесных фазовых переходов*).
Мы полагаем, что возможна прямая проверка результатов, относящихся к длинноволновым корреляциям, например При помощи экспериментов но рассеянию в подсистемах различного объема. Насколько нам известно, до сих пор не предпринималось никаких попыток постановки таких экспериментов на физико-химических или биохимических системах, обладающих не-усгойчявосгями гипа рассмотренных в части IV.
