Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Вопрос решается так же, как и в случае абстрактных объектов «точка» и «прямая». В самом деле, критическое рассмотрение любого учебника элементарной геометрии показывает, что его логические построения нигде не апеллируют к той наглядной ситуации, которую первоначально мы соединяем с отношением связи. Достаточно, если для заданной точки и заданной прямой принимается также заданным, что точка либо лежит на прямой, либо не лежит на ней (в последнем случае говорят, что точка находится вне прямой). В различных толкованиях геометрии это отношение получает каждый раз новое конкретное осуществление. Так, например, отношение связи между точкой А и прямой b в «шаровом» толковании означает, что в этой конкретной системе «образ» точки А (белый шар) соединен нитью с «образом» прямой b (с черным шаром).
Аналогичным образом обстоит дело и с остальными геометрическими отношениями. Так, например, основное отношение порядка, которое при естественном, наглядно-геометрическом представлении соответствует тому обстоятельству, что точки прямой могут быть «топологически» расположены в определенном порядке — слева направо или наоборот, т. е. справа налево, полностью освобождается от этого наглядного содержания. Тем не менее, можно и впредь говорить о «расположении в определенном порядке», основываясь при этом исключительно на втором основном отношении, уже упоминавшемся на стр. 46:
Если три точки А, В, С лежат на прямой I, то одна вполне определенная из них (например, А) лежит между двумя остальными (В и С).
При этом слово «между» не следует понимать в его обычном смысле. Это слово применяется только с целью указать, что если заданы три совпадающие с прямой I
62
§ 8, ГЕОМЕТРИЯ КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
точки, то одну вполне определенную из них (А) принимают выделенной из остальных. Это можно было бы выразить также следующими словами: системе (А, В, С) из трех точек, принадлежащих прямой /, соответствует вполне определенная точка (А) системы; об этой точке говорят, что она «лежит между В и С».
И это основное отношение между точками системы точек принимается в евклидовой геометрии плоскости, как заранее заданное, независимое от остальных основных допущений. Этим геометрии придается новая структурная черта в дополнение к тому, что содержится в основных допущениях (аксиомах), касающихся основных объектов (точка, прямая) и основного отношения связи (точка лежит на прямой).
Аналогичным образом, конгруэнтность двух отрезков AB и CD (или лучше: двух пар точек А, В и С, D) необходимо понимать следующим образом. Два произвольных отрезка могут находиться один с другим в одном из двух отношений: либо они конгруэнтны, т. е. одинаковы по длине, либо они не конгруэнтны. Следовательно, основное допущение об отношении конгруэнтности (стр. 46) утверждает, что для двух заданных пар точек (А, В и С, D) принимается заданным одно из двух: либо они соответствуют одна другой — в таком случае они называются конгруэнтными (имеющими одинаковую длину), либо, наоборот, они не соответствуют одна другой (тогда эти пары точек называются неконгруэнтными).
Ta часть системы евклидовой геометрии, которая занимается только основными отношениями связи и порядка, называется аффинной геометрией. Если последнюю дополнить постулатом отношения конгруэнтности, то она переходит в метрическую геометрию.
Перейдем, наконец, к основным предложениям, т. е. к аксиомам евклидовой геометрии. Они содержат дальнейшие ограничивающие допущения и правила для основных объектов и основных отношений. С примерами аксиом мы познакомились выше (предложение 1 на стр. 12 и аксиома параллельности). Эти аксиомы касаются отношения связи.
63
ГЛ. f. ПРОСТРАНСТВО
Рассмотрим вновь, с точки зрения этих двух аксиом, рисунок 9 (стр. 55) !). На нем изображены три точки и три прямые («точки» А, В, С и «прямые» а, Ь, с). Кроме того, на нем представлено отношение связи в виде нитей, соединяющих определенные точки с определенными прямыми.
Справедлива ли в этой конкретной системе аксиома: «через две точки проходит точно одна прямая»?
Взгляд на рисунок подтверждает это правило: «через» точки А и В проходит одна прямая, а именно прямая с, а через точки BwC — прямая Ь. Следовательно, пока наша система евклидова.
Ho как обстоит дело с аксиомой параллельности? Рассмотрим на рис. 9 прямую а. Вне ее лежит точка А. Через нее проходят две прямые (Ь и с). Обе пересекают прямую а (первая в точке С, вторая — в точке В). Следовательно, через точку А не проходит ни одной прямой, параллельной прямой а. Таким образом, в системе, изображенной на рис. 9, аксиома параллельности не имеет места.
'Изменим эту систему, придав ей вид, изображенный на рис. 10. «Точки», «прямые» и «отношения связи» будем понимать так же, как на рис. 9. Через точки А и В на рис. 10 проходит по-прежнему точно одна прямая Ь. Рассмотрим теперь прямую а и точку В, лежащую вне прямой а. Через точку В проходят две прямые (с и d), не «пересекающие» прямую а. Это означает, что в системе, изображенной на рис. 10, аксиома параллельности неприменима; следовательно, и эта система «ие евклидова».
