Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
случаях можно при исследовании движения исходить из получающихся таким
образом квадратур. Но 'для неконсервативных систем единственный путь -
исследование интегральных кривых на фазовой плоскости.
Вообще говоря, через любую точку плоскости х, у проходит только одна
интегральная кривая уравнения (5), но есть точки - они называются
особыми, через которые проходит либо несколько интегральных кривых, либо
ни одной. Для особых точек, в которых f(x) - 0 и г/ = 0, теорема Коши
несправедлива.
Уравнение (5), относящееся к консервативной системе, может иметь два типа
особых точек:
1) через которые не проходит ни одна интегральная кривая;
2) через которые проходят две интегральные кривые.
Точки первого типа называются центрами (centre), точки второго типа -
седлами (col). Особые точки физически соответствуют состояниям
равновесия. Таким образом, здесь может быть два рода состояний
равновесия. Центры являются устойчивыми, седла - неустойчивыми
состояниями равновесия, и, следовательно, характер особых точек служит
критерием устойчивости.
Выясним, в каком направлении движется изображающая точка на фазовой
плоскости. Если скорость, а следовательно, и у положительны, то х
увеличивается, т. е. в верхней части фазовой плоскости изображающая точка
движется так, что абсцисса увеличивается; если же скорость и у
отрицательны (нижняя часть плоскости), то х уменьшается. Таким образом,
движение происходит по часовой стрелке.
Как уже было сказано, особые точки соответствуют положениям равновесия.
Замкнутые кривые на фазовой плоскости - это
90
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
периодические движения. Мы имеем на фазовой плоскости полную картину
движения систем.
Я не буду останавливаться на общей качественной теории уравнений типа
(5), а укажу лишь некоторые результаты.
Внутри замкнутой кривой всегда есть по крайней мере одна особая точка.
Таким образом, колебания возникают только вокруг положения равновесия.
Если внутри замкнутой кривой имеется одна особая точка, то это может быть
только центр. Внутри замкнутой траектории могут находиться также одно
седло и два центра или два седла и три центра. Вообще внутри замкнутой
траектории возможно нечетное число особых точек и всегда число центров на
единицу больше числа седел. Таким образом, возможны колебания вокруг
нескольких положений равновесия, среди которых должны быть и
неустойчивые. Все это справедливо для сколь угодно сложных консервативных
систем.
Что получится, если особая точка расположена на замкнутой интегральной
кривой? Около этой точки движение становится бесконечно медленным, и,
следовательно, в этом случае нет периодического движения. Подходя к такой
особой точке, изображающая точка останавливается, "застревает", так как в
особой точке сила и скорость равны нулю, а движение описывается
дифференциальным уравнением второго порядка.
Разберем несколько простых примеров.
Начнем с гармонического движения. В этом случае уравнение (2) принимает
вид
Начало координат - особая точка; других особых точек нет. Существуют
только периодические движения (рис. 26).
Рассмотрим, как ведет себя маятник с не малой амплитудой?
В этом случае /г(<р) = 2mgl sin2 и
?-*-2
Интегральные кривые (рис. 28) показывают сразу всю картину .движений
маятника. Точки, через которые проходят две интегральные кривые,---это
седла. Кривые нарисованы для ряда значений W. При Ц^=0 получается центр.
Потом идут замкнутые кривые,- лри малой общей энергии получаются
периодические решения. При
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
91
•очень малой энергии-это почти эллипсы. Зададим такую энергию, при
которой интегральная кривая проходит через точку неустойчивого равновесия
- седло. Маятник стремится в это состояние в течение бесконечного
времени. Он к нему приближается, но не доходит до него. Из нашей картины
сразу видно, что, если мы сообщим маятнику еще большую энергию,
периодичности уже не будет, маятник будет вращаться. Ход волнистой кривой
показывает при этом, что возле центра маятник движется с наибольшей
•скоростью.
V
Рис. 29
Третий пример-железный маятник, помещенный между полюсами электромагнита
(рис. 29). Устойчивое положение равновесия расщепляется на два таких
положения, разделенных седлом. Внутри больших замкнутых кривых -два
центра и одно неустойчивое положение равновесия. Картина на фазовой
плоскости (рис. 30) •сразу дает представление о всех возможных движениях.
Во всех случаях, когда существуют замкнутые кривые, изображающие
периодические движения, они симметричны по отношению к оси абсцисс, так
как скорость всегда имеет двойной знак:
У=±\]\У- F(x).
Рассмотрим площадь эллипса (рис. 31), изображающего периодическое
движение:
S = 2 dx.
*1
Вместо х и dx введем время:
92
ЛЕКЦИИ по колебаниям, часть первая
так что
и
S=21'-*2 dt.
J m
h
Промежуток времени от tx до t.2 составляет половину периода т. Под знаком
интеграла стоит удвоенная кинетическая энергия Т.
Таким образом,
5 = 2 {2ГЛ = т- ~ \2Tdf,
