Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
старались объяснить все явления в газах: теплопроводность, диффузию,
внутреннее трение. Вторая задача, за которую взялись,- свойства твердого
тела. Газ стоит на одном полюсе, твердое тело - на другом. Оно имеет
определенную форму и строение.
Грубая модель твердого тела такова: каждый атом привязан какими-то силами
к определенному положению равновесия. Если немного вывести атом из этого
положения, то он ведет себя как осциллатор. Так как возможны все
направления смещения в трех измерениях, то каждый атом грубо можно
рассматривать как три независимых осциллатора. N атомов образуют 3N
осциллаторов.
Так хотели понять твердое тело и, в частности, объяснить, как оно ведет
себя при нагревании, найти его удельную теплоту- увеличение внутренней
энергии при нагревании на 1°. Задача сводится к следующей: как зависит
колебательная энергия осциллаторов от температуры?
Мы знаем механические законы движения осциллаторов. Можно ли отсюда
получить ответ на поставленный вопрос? Нет, нельзя.
Законы механики недостаточны для ответа на любой вопрос такого рода. Они
не дают ответа и на вопрос о том, как вообще движется то или другое тело.
Только если задано, где тело находится в какой-нибудь момент времени и
какова в этот момент его скорость,-только при этом условии законы
механики указы вают, что с ним будет в дальнейшем. На основании одних
только
104
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
уравнений движения механики-без дополнительных данных - нельзя ответить
ни на один механический вопрос.
Вернемся к нашим осциллаторам. Механика ничего не говорит о том, с какой
энергией они движутся. Для ответа на этот вопрос необходимы еще какие-то
данные, еще что-то нужно взять вне механики. Это "что-то" приходит извне
с помощью новой гипотезы. Совокупность из такой гипотезы плюс механика
носит название статистической механики. В вопросах статистической
механики всегда, кроме механики, есть вещи, взятые вне ее.
Вопрос ставится так: как распределена энергия между отдельными атомами?
Существует определенный рецепт, дающий ответ на этот вопрос. Я не могу
останавливаться на том, как этот рецепт был получен, но не думайте, что
его можно вывести из механики. Это нечто новое. Можно постулировать этот
рецепт. Можно сделать другой статистический постулат и из него вывести
этот рецепт. Но из механики его вывести нельзя.
В чем же заключается этот рецепт? Статистическая механика утверждает, что
при термодинамическом равновесии осцил-латоры имеют самые разнообразные
значения энергии, причем эти значения распределены по закону Больцмана.
Этот закон заключается в следующем. Возьмем на фазовой плоскости осцил-
латора (х, у) (х - координата; у - тх- импульс) площадку dxdy.
Вероятность dp того, что осциллатор находится на этой площадке,
пропорциональная величине площадки, зависит от энергии осцил-латора W
следующим образом:
причем к- постоянная Больцмана, 0 - абсолютная температура.
Повторяю: из механики этот закон вывести нельзя. Его можно сделать лишь
более или менее естественным. Гиббс получил его потом в качестве
следствия более общей гипотезы.
Если тело состоит из осциллаторов, то вероятность того, что осциллатор
находится в состоянии (х, х + Л; у, y-t-dy) дается формулой (6), причем в
данном случае
dp = Ae dx dy,
(6)
2
2m
(7)
Наша задача будет заключаться в том, чтобы узнать, чему равняется энергия
всего твердого тела. Механика плюс постулат (6) уже достаточны для
решения поставленного вопроса.
ДЕСЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
105
Вычислим, какова средняя энергия осциллатора W.
Если какая-нибудь величина имеет с вероятностью р1 значение а и с
вероятностью р2 значение Ь, то ее среднее значение (или математическое
ожидание) есть
ар л Ьрг
Pi -+-Р2 '
причем р1-\- р2~1.
Аналогичным образом
W=\\WAe-w'k% dxdy, (8)
причем и здесь сумма вероятностей всех состояний также равна единице:
A^^dxdy = 1. (9)
Деля (8) на (9), находим:
гр e~Wlk%dxdy (JO)
W~ jje -Wk& dxdff • V '
Чтобы найти среднее значение энергии осциллатора, остается только
произвести математические операции, указанные в формуле (9).
Введем обозначения:
Мк% =а, /=Яе"а1Г dx dy. (11)
/ есть функция параметра а. Мы можем написать вместо (10):
F=-/'(*)//( а). (12)
Вычислим теперь /(х). Подставляя (7) в (11), получаем:
+00 +°0
ГГ Г - , Г Щх' 1
/= И е \2т 2 )dxdy-\e 2mdy\e 2 dx.
- СО -со -со
Но, как известно,
н-со
J e~z*dz= у'тГ,
106
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
и, следовательно,
(13)
где v - частота осциллатора.
Подставляя (13) в (12), получаем:
W=- = kB.
а
Наш постулат приводит к выводу, что при равновесии средняя энергия
осциллатора равна к0. В свое время этот результат сыграл громадную роль.
В газе средняя кинетическая энергия поступательного движения на одну
степень свободы равна к 0/2. Средняя кинетическая энергия осциллатора
равна (при одной и той же температуре) средней кинетической энергии
поступательного движения молекулы газа. Это получается независимо от
того, каков период осциллатора. Поэтому здесь говорят о равномерном
