Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
женное на площадь стенки, ибо давление газа есть по определению средняя
сила на единицу площади ее поверхности (давление на газ положительно,
когда оно направлено внутрь).
Очевидно, по трем стенкам х = а, y = b, z = c
V(е) = - 3pabc = - Зр V, где V=abc - объем газа. Следовательно,
Nmuz = ¦- К,!) -+- Зр V.
Это - основная формула кинетической теории газов.
Если газ очень разрежен, можно считать, что молекулы взаимодействуют
только при соприкосновениях. Будем считать, что молекулы чрезвычайно
малы. Тогда координаты двух молекул по какой-нибудь оси (назовем их здесь
xt и х2) в момент удара можно считать равными. По третьему закону
Ньютона, силы взаимодействия Х^ и Х2{,\ соответствующие координатам Xj и
х2, равны по величине и противоположны по направлению:
Х[1>= - Х$.
Таким образом, все слагаемые вида Х1^х1-л-Х2(,)х2, из которых состоит
сумма в выражении внутреннего вириала, равны
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
97
нулю, а значит, и сам внутренний вириал равен нулю. Сделанные
предположения о взаимодействии молекул означают, что мы ограничиваемся
моделью идеального газа, но именно для этого случая и справедлив закон
Бойля-Мариотта, на основании которого мы написали (14). В результате
(15)
Сопоставляя (14) с (15), мы можем найти кинетическое толкование
температуры: средняя кинетическая энергия молекулы есть
та2 3R _
~2~ ~~2N
Она пропорциональна температуре. Мы можем написать:
|*е, (16)
где
есть постоянная Больцмана. Соотношение (16) выражает основное положение
классической статистической механики: температура есть мера кинетической
энергии молекул.
Так как R известно, а N можно определить из опыта, то из опыта можно
определить к, а следовательно, и среднюю кинетическую энергию молекулы
газа. Мы получаем возможность оценить скорости молекул.
Запомним формулу (16). С ней связаны очень важные вопросы, относящиеся к
возникновению квантовой теории. Мы их коснемся потом1. Но вот на что я
хочу указать теперь же. Может показаться, что мы вывели основную формулу
(16) кинетической теории газов из законов Ньютона. Но в действительности
она из них не следует. Мы молча сделали одно предположение,-
предположение о том, что существует определенное, одинаковое давление на
все стенки сосуда. Если бы, скажем, скорости всех молекул были
параллельны оси х, то не было бы давления на боковые стенки.
Понадобилось, таким образом, кроме законов Ньютона, добавочное
предположение. Такого рода постулат всегда необходим в кинетической
теории газов.
Nmu2=3pV.
1 [См. 10-ю лекцию, а также 29-ю и 30-ю.] 7 JI. И. Мандельштам, том IV
98
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Мы применили теорему вириала к идеальному газу. Но она очень хороша и для
более сложных систем. Из нее следуют очень разнообразные и интересные
вещи.
Рассмотрим общий случай консервативной системы, т. е. системы, в которой
существует потенциальная энергия - функция U от координат, такая, что
dU
Тогда
V=_\?dJ!Xt
Пусть потенциальная энергия есть однородная функция п-ой степени. По
теореме Эйлера
XT' ^ II
2|д*,*'=п?/'
так что
1/=-пи.
На основании (11) получается замечательное соотношение
2T=nU. (17)
Если потенциальная энергия есть однородная квадратичная функция
координат, то п = 2 и
Т= U.
Возьмем случай взаимодействия по закону тяготения Ньютона или по закону
Кулона. Здесь существует потенциальная энергия
U = const - 1 "X1 -
Zi2 rik '
1фк
где ~к - гравитационная постоянная, тп,-и пг^ - массы материальных точек,
гцс-расстояния между ними; или же
U = const -+- >,тг ,
г'к
I ф к
где е,- и вк-электрические заряды. Положим:
const = О,
ДЕВЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
99
т. е. будем считать потенциальную энергию равной нулю тогда, когда
взаимодействующие точки находятся на бесконечно большом расстоянии друг
от друга. Тогда U есть однородная функция (-1)-ой степени, и согласно
(17)
2Т=-П. (18)
Если все заряды одноименны (имеет место только отталкивание), то
U= \1еЛ
2 -
i ф к №
- положительная величина. Но кинетическая энергия всегда положительна:
мы приходим к противоречию с равенством (18).
В чем же дело?
Применяя ту или иную теорему, нельзя забывать, при каких предположениях
она выведена. При существовании только отталкивания движение заведомо
таково, что координаты и скорости не остаются ограниченными. При выводе
же теоремы вириала было сделано существенное предположение о финитности
движения.
Если есть и положительно и отрицательно заряженные частицы, то для того,
чтобы движения были финитными, нужно, грубо говоря, чтобы общий потенциал
разноименных зарядов превышал общий потенциал одноименных.
Полная энергия системы
W= Т-+- U= Т+ U.
Если, кроме того, выполняется равенство (18), то
W--Т. (19)
Таким образом, при кеплеровском движении полная энергия всегда
отрицательна.
При распылении системы, в которой потенциал разноименных зарядов
преобладает над потенциалом одноименных, потенциальная энергия растет.
Следовательно, согласно (18) и (19) кинетическая энергия уменьшается, а
