Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
6 = ос<р (0 < 9
В нашем случае Ф(Е) = тг, следовательно, в силу (29') для однолистности отображения необходимо и достаточно, чтобы
О < a < 2.
При этом условии функция (29) даёт конформное отображение полуплоскости на угол со сторонами 6 = 0 и 6 = атс (0 < 6 < air); лучи <р = const преобразуются в лу-
(29J
53ЯИ 6 = Occp5 & окружности Г = COlist в окружности (рис. 14).
При мы получим отображение полуплоскости на
прямой угол, при а = 2 мы получим отображение полуплоскости на область, получаемую удалением из пло-
Рис. 14.
скости w положительной части действительной оси (рис. 15).
Отметим поведение имеем
dw dz
в окрестности точки z =
dw
== ага~1.
dw
dz dw
Ш
стремится стремится
Таким образом, если а>1, то при r—>О к нулю, как Tcf"1, если а<1, то при r—> О в бесконечность, как—.
Если за область D принять угол 0 < ср < , ~ < \
а> у, то условие однолистности (29') имеет место, и сте-
Рис. 15.
пенная функция Za реализует конформное отображение угла D на полуплоскость v > 0.29. Показательная и логарифмическая функции. Начнём с показательной функции
<*> = ez. (30)
Эта функция правильна и однозначна во всей конечной z-плоскости и имеет один чисто мнимый период 2ш
?Z+'ZklZi — ?Z^
Для изучения отображений, осуществляемых показательной функцией, целесообразно ввести в су-плоскости полярные координаты риб, тогда (30) можно представить в виде
рег'9 = ex+iv>
или
P == I
(30J
> = I ^У . J
Из представления (30х) непосредственно вытекает уело-, вие, которому должна, удовлетворять облаоть D, для того чтобы в этой области функция ег была однолистной: область D не должна содержать двух точек с одинаковыми абсциссами и с ординатами, отличающимися на величину, кратную 2тг. Простейшей областью, удовлетворяющей этому условию, будет полоса
0<у <2тг.
Согласно (30х) показательная функция (30) даёт конформное отображение этой полооы на. лучевую область
0 < 6 < 2тг.
При этом все прямые у = const переходят в лучи S = COnst, а прямые ж = const* в окружности р-const (рис. 16). Гра-
2ц Zz
Л
TTVTrrrrr^
О 2
Рис. 16.
ничные точки полосы Z1 = X и Z2=X + 2ш с одинаковой абсциссой обе переходят в двойную точку границы w = ex =
55= ^2ni, которую можно рассматривать как две точки, принадлежащие двум сторонам разреза.
Та же функция даёт конформное отображение полосы
0<2/О
на верхнюю полуплоскость. Если точка z = x-\-iy полосы неограниченно удаляется влево, х—> — оо, то соответствующая точка w стремится к нулю, а при х—>+ оо, I W I = ех—> со.
Соответствие между точками границы полосы 0 < у < тс и между точками действительной оси осуществляется функциями
и = ех при у = О, U = —ех при у = 1С.
Логарифмическая функция, обратная показательной,
w = \nz (31)
бесконечнозначна. Полагая Z = Tei^j записываем соотношение (31) в виде
U = InT9
V = Ср -f- 2&7Г,
где к — любое целое число. Если область D не содержит начала координат, то логарифмическая функция распадается в D на бесконечное множество однозначных ветвей. Из (31г) непосредственно видно, что каждая ветвь однолистна в D. Если за D принять верхнюю полуплоскость, то любая ветвь функции w = \nz даёт конформное отображение D на полооу ширины тс. В частности, ветвь, которая положительную часть оси X переводит в ось U9 отобразит D на полосу 0 < V < тс (см. рис. 16, переменив в нём роли Z и w).
30. Тригонометрические и гиперболические функции.
Тригонометрические и гиперболические функции представляют собой простые комбинации показательных, поэтому отображения, которые они реализуют, легко получить из результатов предыдущего пункта. Рассмотрим некоторые из таких отображений. Функция
(32)
правильна и однозначна во всей конечной z-плоскости,
(31,)
W = 91П Z = -
П
f>6Отделяя в (32) действительную и мнимую части, получим
и = sin X = Ch у sin х> |
V = Y (eV — ^ cos я = shy cosa;. I
(32,)
Из (32j) видно, что функция W = sin z имеет действительный период sin (z-f 2кк) = sinz, следовательно, можно ограничиться её изучением в полосе —тг < х < тт. Функция неоднолистна в этой полосе, ибо имеют место тождества:
»(д—у) =B (-J + *'
+ ""О''
область однолистности (32) не должна содержать никакой
¦Ш
W
Рис. 17.
пары точек типа г/^, — . В частно-
сти, (32) однолистна в полосе
или в полуполосе
7Г 7Г
2'
— К<х<п, у >0.
Отображения этих областей показаны на рис. 17 и 18; первая из них отображается на плоскость w с исключён-
57йыми лучами — оо < ? < — 1; 1 < # < оо;' вторая — на ту же плоскость с исключёнными отрезком — 1 < X < 1 и лучом — оо < у < 0; прямым у = const соответствуют дуги софо-кусных эллипсов (с фокусами в точках W = — 1; W= +1),
Ui V2
ch*y + Sh= ^' прямым X = const — дуги софокусных гипер-
бол (о теми же фокусами),
и*
Vй
Функция
sill2 X
COSj X
- = 1.
1 eil
W = IgZ = -T-T
° 7. -Ji
+ е-
(33)
регулярна в конечной z-плоскости всюду, кроме точек zA = (2ft + l)-|- (в которых она имеет полюсы первого по-