Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(5.68)
и(у, z)--e-w6«, Q(z)>0.
(5.69)
248
от Z. Более формально, можно сказать, что фактор У параметрически зависим от Z, если условные функции полезности от У приг различных заданных значениях z зависят от г, и эта зависимость-выражается только через параметр б. Это означает, что
и(у, z)=di(z)+d2(z)uT\z\y\e(z)l (5.70}
где ??2'(г)>0, a Uy|z является условной функцией полезности У при? заданном г.
Следующая теорема раскрывает возможность использованиям параметрической зависимости.
Теорема 5.10. Пусть фактор Y параметрически зависим от Z,. тогда функция и(*, •) полностью определяется тремя согласованно шкалированными функциями полезности от Z при заданных значениях у и одной функцией полезности от Y при заданном-значении z.
Ограничимся неформальным доказательством. Рассмотрим^ рис. 5.14. В теореме 5.10 утверждается, что при выполнении сфор—
z -.-г
Рис. 5.14. Если фактор У параметрически зависит от Z, функция полезности и( у, z) полиостью определяется значениями полезности последствий, выделенных жирными линиями
мулированных условий полезность любой точки может быть установлена на основе уже известных согласованно шкалированных, значений полезности последствий, выделенных жирными линиями. Построив Zq) , мы тем самым установили и функциональный вид функции полезности и(»> z) при всех значениях г. Для> того чтобы определить значение параметра для любого конкретного значения Zy нужно использовать лишь значения полезностей последствий (уо, z), (у'у z) и (уи z). Затем функция u(-, z) шкалируется с помощью значений u(y0i z) и и(у\, z), что позволяет определить полезность любого последствия (уу z).
Очевидно, что понятие параметрической зависимости можно распространить и на семейства функций полезности, характеризуемых двумя параметрами. Тогда несложно получить результаты, аналогичные теореме 5.10. Например, единственным изменением формулировки теоремы 5.10 будет то, что потребуется оценить четыре условные функции полезности от Z — на одну больше, чем раньше. Аналогично можно вывести результаты использующие как параметрическую зависимость, так и независимость, по полезности. Некоторые из них можно найти в работе Керквуда-. (1972).
Уо
Y
249
Показатели суммарного состояния. Закончим этот параграф дальнейшим обобщением, которое будет развито в гл. 9. Рассмотрим два фактора У и Z, но предположим теперь, что фактор Z является многомерным. В некоторых случаях условная функция полезности и(», г) от У может зависеть от (многомерного) z и эта зависимость полностью характеризуется посредством некоторого описания (дескриптора) суммарного состояния, например 6(г). В некоторых случаях область значений 6 может быть одномерной. Например, предположим, нас интересуют динамические потоки потребления. Полезность будущего потребления начиная с некоторого момента времени t0i может зависеть от потребления в предыдущем и настоящем. Однако в качестве аппроксимации можно предположить, что полезность будущего потребления зависит от предыдущего только непосредственно через настоящее, в момент времени t0. Следовательно, поток потребления до момента времени to включительно может быть полностью охарактеризован описанием состояния — потреблением в момент времени to. Этот пример является естественной аналогией понятия марковской зависимости в традиционной теории вероятностей. Другие слабые виды вероятностной зависимости также имеют свои аналоги в области теории полезности. Другими словами, если различные допущения о независимости по полезности оказываются неприемлемыми, в анализ могут вводиться различные слабые виды зависимости по полезности. Насколько нам известно, это направление исследований только зарождается (см. § 6.10, Белл (1975а) и Мейер (1975)).
Как отмечалось в начале этого пункта, большая общность функций полезности порождает большую трудность в их использовании. Во многих задачах более простые модели часто оказываются «достаточно хорошими» аппроксимациями даже в тех случаях, когда они не очень точны. Однако в остальных случаях важно понимать, каким образом может быть достигнуто такое увеличение общности модели, при котором трудность проведения необходимых оценок все-таки остается в разумных границах.
5.8. ПРОЦЕДУРА ПОСТРОЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ
После ознакомления с методами построения функций полезности, зависящих только от одного фактора (см. гл. 4), невозможность установления четкой последовательности действий, обеспечивающих построение удовлетворяющих нас функций полезности в случае большого числа факторов, не должна вызывать удивления. Процесс построения таких функций полезности, так же как и одномерных функций, требует интуиции и творческого подхода. Напомним, что прежде чем переходить к формализации каких-либо предпочтений или установлению полезностей, необходимо, чтобы аналитик (специалист по теории принятия решений), проводящий опрос, уже должным образом подготовил к работе
250
лицо, принимающее решение, или уполномоченного им эксперта.. Поэтому мы будем предполагать, что те лица, которые предоставляют информацию в процессе решения рассматриваемой задачи, четко понимают цель исследования и готовы к тщательному анализу своего отношения к различным последствиям.
