Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
С другой стороны, когда условные функции полезности зависят от одномерных аргументов, для их нахождения можно использовать процедуры, обсуждавшиеся в гл. 4. Если при этом для проверки справедливости допущения о независимости по полезности была использована предложенная выше процедура, та при построении условных функций полезности могут быть использованы детерминированные исходы, эквивалентные рассматриваемым в процедуре лотереям. Ясно, что подобного рода информацию, полученную при проверке допущений о независимости, необходимо использовать возможно шире.
5.8.4. Нахождение значений шкалирующих констант. Во всех моделях, описанных в этой главе, функции полезности и(у, г) определялись с помощью некоторого количества условных функций полезности для отдельных факторов YhZh соответствующих шкалирующих констант. Например, для определения полилинейной функции полезности, рассмотренной в § 5.4,
и(у, z)=kYUY + kzUz(z)+kYzUY(y)uz(z), (5.71?
необходимо было построить по одной условной функции полезности для каждого фактора У и Z, а также найти значения трех шкалирующих констант: kY, kz и kYz- Поскольку шкалирующие константы используются для обеспечения внутренней согласованности функции и(у, z)f обе функции полезности в выражении
(5.71) могут быть шкалированы так, чтобы они изменялись от О до 1.
Для того чтобы установить значения трех шкалирующих констант, можно попытаться получить систему из трех независимых уравнений относительно этих констант и решить ее. Эти уравнения могут быть получены из результатов сравнения с точки зрения предпочтительности детерминированных исходов, лотерей, а также тех и других одновременно. Пользуясь результатами сравнения детерминированных исходов, найдем одно из уравнений,, связывающих шкалирующие коэффициенты. Пусть детерминированные исходы, т. е. последствия (уи Zi) и (у2> Z2), равноценны, приравнивая тогда полезности, вычисленные в соответствии с выражением (5.71), получаем
kYuY(y\) +kzuz(zi) +ikYzUY(yi)uz (Z1) =
= kYUY{y2) +{kzuz{z2) +ikYZUY(y2) U2(Z2). (5.72);
Обе функции полезности uY и Uz считаются известными, поскольку предполагается, что они уже построены. Поэтому выражение
(5.72) является уравнением, содержащим как максимум три неизвестных. Используя равные по !предпочтительности лотереи и детерминированные исходы, также можно найти уравнения для 9-67 257
шкалирующих констант. Предположим, что детерминированный исход (#з, Z3) равноценен лотерее <(уи Z\)\ р\ (y2f Z2)>, которая дает исход (уи Z1) с вероятностью р и исход (у2, Z2) с вероятностью 1—р. Тогда, приравняв ожидаемые полезности, имеем
и(уз> гг)=ри(уи zx) + (l—p)u(y2y Z2). (5.73)
Подставляя в это уравнение значения полезностей, полученные из выражения (5.71), мы приходим к уравнению относительно kY, kz и kYZ. Отсюда ясно, что из результатов сравнения детерминированных исходов, лотерей и их комбинаций можно найти три независимых уравнения относительно трех неизвестных k. Проиллюстрируем этот факт.
. Снова рассмотрим полилинейную функцию полезности, определяемую выражением (5.71), где начало отсчета функций иу uY и Uz задано равенствами
и ОД z°) = 0, Uy (у°) = 0 и uz (z°) = 0, (5.74)
Предположим, нас интересуют предпочтения на пространстве последствий, ограниченном неравенствами у°^у^у* и z°^z^z*. .Для упрощения предположим также, что с ростом значения факторов YnZ увеличивается и предпочтительность соответствующих последствий, поэтому функции полезности могут быть шкалированы следующим образом:
и(у\ z*) = l, uY(y*) = l и uz(z*) = 1, (5.75)
Используя равенства (5.75) для вычисления выражения (5.71) в точке (у*у z*), получаем
l=kY+kz+kYz. (5.76)
Далее, вычисление значения выражения (5.71) в точках (у*9 z°) и (y°t z*) дает соответственно
u(tTi г°)-ky и и(у\ z*)=kz. (5.77)
Попробуем теперь установить, какой из параметров имеет большее значение, kY или kz? Это можно сделать, выяснив, например, у лица, принимающего решение, какое из последствий (у*, z°) или (у°9 z*) будет более предпочтительным. Из выражения (5.77) следует, что, если более предпочтительным будет последствие (у*t z°), то kY>kz, если же последствие (у°, Z*) будет предпочтено последствию (#*, z°), то kz>kY. Если оба последствия равноценны, то kY=kz- Предположим, было найдено, что kY>kz> тогда можно попытаться найти такое значение у\ чтобы последствия (*/', z°) и (у°, Z*) были равноценны для лица, принимающего решение. Приравняв их полезности, вычисленные с помощью выражения (5.71), получим
kz=kYuY{y')9 (5.78)
где значение uY(yr) известно. Для того чтобы помочь лицу, принимающему решение, определить значение у\ можно предложить ему выбор между последствиями (у, z°) и (у°, z*), где значение у
258
зафиксировано. Если первое последствие окажется предпочтительнее второго, значение у нужно уменьшить и снова предложить выбор между такими последствиями. Если предпочтительнее окажется второе последствие, значение у следует увеличить и снова повторить процедуру выбора. Таким образом, можно довольно быстро найти значение у'.
Уравнение (5.78) является результатом рассмотрения детерминированных исходов для определения значений шкалирующих констант. Рассмотрим теперь пример нахождения шкалирующих констант с использованием сравнения лотерей. Предположим, что с помощью методов, обсуждавшихся в гл. 4, была найдена вероятность яу такая, что детерминированный исход (у*, Z0) равноценен лотерее <(у*, z)\ ziy\ (у°, z°)>. Используя выражение (5.71) и приравнивая ожидаемые полезности, находим
