Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
+ и(уу zx)u(y0y zn(y)). (5.55)
Уравнения (5.54) и (5.55) образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными, решая которую получаем
и (у, Z0) =--и(у*> Zm{y))- ; (5.56)
и{уо, *п(у)) — и(уо> zm (у))
U {у, Z1) =-1~и<Ь- *™(у))-в (5 57>
^ (уо у zn(y)) — u(y0t гт (у))
Подстановка выражений (5.56) и (5.57) в выражение (5.38) приводит к
и(у Z)=—и (и»' Zm E1 ~~ и (у** + iі—и (уо> г™ (у))) и (У0,2)
и(уо> гп(у)) — и(у0, Z7n (у))
(5.58)
откуда в результате приведения подобных членов приходим к выражению (5.51).
Когда У и Z представляют собой скалярные величины, теореме 5.9 может быть дана простая геометрическая интерпретация (см. рис. 5.11). Выше было доказано, что независимость по полезности Z от У, обеспечивает возможность полного определения функции и(*, .) с помощью относительных значений полезности лишь тех последствий, которые расположены вдоль жирных линий.
Функция полезности позволяет охарактеризовать отношение лица, принимающего решение, к ситуациям, связанным с риском и
Рис. 5.11. Условие независимости по полезности фактора Z от У позволяет полностью определить функцию полезности и(уу г) на основе значений полезности последствий, выделенных жирными линиями
равного
неопределенностью. Для построения искомой функции полезности, лицу, 'принимающему решение, ориходится указать свои предпочтения относительно лотерей. С другой стороны, кривая равного предпочтения не содержит никакой информации относительно склонности к риску лица, принимающего решение и может быть найдена путем сравнения одних только детерминированных исходов. Таким образом, для того чтобы выражение (5.58) было справедливым, необходима только одна условная функция полезности. Поэтому отношение лица, принимающего решение, к риску, связанному с неопределенностью как по У, так и по Z, может быть установлено с помощью рассмотрения ситуаций, связанных с риском и включающих неопределенность только относительно фактор a.Z.
5.6.4. Частные случаи: аддитивная и полилинейная формы. В § 5.4. было доказано, что если факторы YwZ взаимонезависимы по полезности, тогда
и(у> z)=u(y, z0) + u(y0, z)+ku(y, z0)u(y0y z)9 (5.59)
где k — рассчитанная на основе эмпирических данных константа. .Интересно было бы выяснить, какие дополнительные условия необходимы, чтобы результаты этого параграфа можно было свести к виду (5.59) или к аддитивной функции полезности. С этой целью докажем два результата, которые могут рассматриваться как следствия теоремы 5.6.
Следствие 1. Пусть фактор Z не зависит по полезности от У. Тогда необходимым и достаточным условием представления функции полезности и(у, z) в виде (5.59) является справедливость выражения
и(У> zx)=a+bu(y, Z0) (5.60)
для любого произвольного значения Z1=^=Z0, где а>0 и Ь>0 — константы.
[Предварительное замечание. Другими словами, это следствие утверждает, что если фактор Z не зависит по полезности от У, то для представления функции полезности в полилинейном виде (5.59) не обязательно проверять, являются ли все условные функции полезности и(*, z) стратегически эквивалентными. Достаточно убедиться, что существует хотя бы одна пара функций, например и(*у Zq) и (и*, Zi), которые стратегически эквивалентны.]
Доказательство. Для доказательства достаточности указанного условия подставим выражение (5.60) в (5.38). При этом получим
и(у, z) = u(y, z0)\[l—u(y0, z)] + [a + bu(y, z0)]u(y0y г) =
=]и(у, z0)+au(y0y z) + (b—l)u(y, z0)u(y0y z). (5.61)
Поскольку и{уо, z0)=P, то выражение (5.61) при у=Уо дает
и(Уо, z)=0+au(yOi z)+0. 240
Отсюда
a= L (5.62)
Подставляя этот результат в выражение (5.61) и полагая k = b—1, получаем выражение (5.59).
Для доказательства необходимости условия (5.60) при представлении функции полезности в виде (5.59), нужно лишь обратить внимание на то, что из выражения (5.59) следует
и(У> гО = и(Уо, Zi) + [l+ku(y0y Zi)]u(yt z0),
и что и(у0у Zi) и [l+ku(y0> z\)] являются константами.
Следствие 2. Пусть фактор Z не зависит по полезности от У. Функция полезности и(у, z) является аддитивной тогда и только тогда, когда лотерея <(уо, Zo), (у, zx)> равноценна лотерее <(Уо, Zi)9 (уу Zo)> при всех у.
Доказательство. Приравнивая ожидаемые полезности двух лотерей, получаем
l/2u(y0y z0) + l/2u(y, Zi) = l/2u(yQ, z{) + l/2u(y9 Z0) при всех у.
(5.63)
Напомним, что начало отсчета и единица измерения функции и(уу z) в выражении (5.38) заданы равенствами и(уо, Zo)=O и и и(у0у Zi) = I. Поэтому, подставляя их в выражение (5.63), получаем
и (у, Z1) = 1 + ы (у, Z0). (5.64)
Выражение (5.64) представляет собой необходимое и достаточное условие представления функции полезности в полилинейном виде, сформулированное в следствии 1. Заметим, что для а= I и 6 = 1, аддитивность функции полезности следует непосредственно из выражения (5.61).
В § 5.3 было установлено, что в общем случае аддитивность функции полезности следует из допущения
<(Уо, Zo)9 (у9 z) > ~ <(уо> Z)9 (у9 Z0) > (5.65)
для всех у и z при фиксированных, произвольно выбранных значениях уо и Z0. В следствии 2 утверждается, что при независимости по полезности Z от У аддитивность функции полезности может быть установлена, если в качестве значения z выбрано значение Z1 и сделанное выше допущение справедливо для всех у при фиксированных, произвольно выбранных значениях у0, Z0 и Zi. Ранее в теореме 5.4 было доказано, что при справедливости допущения о взаимной независимости по полезности аддитивность функции полезности может быть установлена, если в качестве значений у и z соответственно выбраны у\ и Zi и допущение (5.65) справедливо для одной из четверок значений yQy z0y yi и z{.
