Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
и(у, zn(y))=u(y0, zx). (5.45).
Вычисляя и(у, z) согласно выражению (5.37) в точках Z = Zq и Z=Zn (у) соответственно, находим
и'(У> *о)=Сх(у) + с2(у)и(у0, z0) = Cx(y), (5.46)
и(у, zn(y))=u(y0t zx)=c{(y)+c2(y)u(y0, Zn(y)) =
= и(у, z0)+c2(y)u(y0, zn(y))
или
c{y)= »(уо>*і)-и(у,т0) и(уо> Zn (у))
*> Оставшаяся часть § 5.6 может быть три чтении опущена. Это не нарушит целостность понимания остального материала.
236
Подставляя выражения (5.46) и (5.47) в выражение (5.37), полу-чаем выражение (5.43).
В частном случае, если кривая равного предпочтения проходит через точку (у0, z0)t т. е. Zi=Z0, то и(уо, Zi)=O и выражение (5.43) упрощается:
и(У0> г)
(5.48>
и(Уо> Zn (у))
Геометрическая интерпретация теоремы 5.7 для скалярных факторов У и Z представлена на рис. 5.9. Для того чтобы определить функцию и(% необходимо найти согласованные значения полезности последствий вдоль жирных линий на рис. 5.9.
Рис. 5.9. Условие независимости по полезности фактора Z от У позволяет полностью определить функцию полезности и(уу г) на основе значений полезности последствий, выделенных жирными линиями
/7?Г0//О8О
и(У> г)-
(5.49)
Интересно также при построении функции и(*у • ) попытаться использовать кривую равного предпочтения вместо условной функции полезности для Z. Это удается сделать на основе следующего утверждения.
Теорема 5.8. Если Z не зависит по полезности от Y, тогда
U (yt Z0)U (уп (Z) ,Z1) — U (у, Z1)U (уп (Z) , Z0)
u(yn(z), z1) — u(yn(z)y Z0)
где
1. и(у0у Zo) = O, Zi=^Z0.
2. yn(z) определена таким образом, что (yn(z)y z)~(y0, z0). [Предварительное замечание. Таким образом, для того чтобы
обеспечить возможность использования результатов этой теоремы, необходимо убедиться в независимости по полезности Z от У,, построить функции «(•, Zo), и(*у Zi) и одну кривую равного предпочтения, охватывающую всю область изменения значений г.]
Доказательство. В качестве начала отсчета значений функции и(у, z) примем точку пересечения кривой равного предпочтения {(yn(z), z) для всех z} и линии {(у, Zo) для всех у}. Пересечение этих линий должно происходить в некоторой точке уг обозначаемой у0, поэтому
u(yn(z), z) = (y0, Zo)=O.
Кроме того, единица измерения функции и (уу z) может быть установлена равенством и(уо\ Zi) = I. Таким образом, поскольку Z не зависит по полезности от У, для ,вычисления u(yn(z), z) может быть использовано выражение (5.38). Действительно,
»(Mz)1 г)=0 = и(уп(г)9 Z0)[I-u(y0t z)]+u(yn(z), zo)u(y0y z).
237
Полученное выражение можно переписать в следующем виде:
— и (уп {г), Z0)
—. (5.50)
и(уп(г), Z1)— и (уn(z), Z0)
Подставляя выражение (5.50) в (5.42), получаем искомый результат — выражение (5.49).
Для случая, когда У и Z являются скалярными величинами, на рис. 5.10 представлена геометрическая иллюстрация к теореме 5.8. Представление функции полезности в виде (5.49) позволяет предложить метод построения самой функции и(•, •) на основе
относительных значений полезно-/tflufa*paffmw wefaovwew* сти последствий, расположенных
вдоль жирных линий на рисунке. По расположению кривой равного предпочтения на рис. 5.10 нетрудно понять, что предпочтительность последствий должна возрастать с увеличением значений одного фактора и уменьшением другого.
5.6.3. Использование двух кривых равного предпочтения. В вы-Рис. 5.10. Условие независимости по ражений (5.38) кривыми равного полезности фактора Z от Y позво- предпочтения могут быть замене-ляет (Полностью определить функцию r g, j.
полезности и(у, г) на основе значе- НЫ обе условные функции полезший полезности последствий, выде- ности от Y. Для того чтобы покаленных жирными линиями зать это, докажем следующую
теорему.
Теорема 5.9. Если Z не зависит по полезности от У, то
и(уо> z)—u(ye, zm (у))
иІУ, Z)-
(5.51)
нормализована равенствами u(y0t Zo) = O и и(у0,
и(уо> 2п(у)) — и(уо> *тп (у))
где
1. и(у, Z)
2. Функция zm(y) определена таким образом, что (у, Z71 ~(Уо, Z0).
3. Функция zn(y) определена таким образом, что (у, zn(y))~ -~'(Уо, Z1).
[Предварительное замечание. Для того чтобы обеспечить возможность использования этой теоремы, необходимо удостовериться в независимости по полезности Z от У, построить функцию и(Уоу •) и задать две кривые равного предпочтения, охватывающие всю область изменения значений у.]
Доказательство. Определим функции Z7n(у) и zn(y) таким образом, чтобы множества пар {(у, zm(y)) для всех у} и {{Уу Zn(y)) для всех у} соответствовали двум кривым равного предпочтения, охватывающим всю область изменения У. Обе кривые равного предпочтения должны пересекаться с линией {(yQ, z)
238
для всех z}, поэтому начало отсчета и единица измерения функции и(% •), а также сами значения Zo и Z1 могут быть установлены следующими равенствами:
и(у, zm(y)) = u(y0y Zo)=O, (5.52)
и («Л Zn(y))=u(y0, Zi) = I. (5.53)
Вычисляя и(уу Zm(y)) и и(уу zn(y)) при помощи выражения (5. 38), находим соответственно
u(yt zm(y)) = 0=u(yy Zo)[l—u(y0l zm(y))] +
+ и(у, Zi) и (у0у zm(y))\ (5.54)
и(У> zn(y)) = \ = u(yy Zo) [1—и(уо, Zn(V))I +
