Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
5.6.5. Использование детерминированных эквивалентов. Детерминированный эквивалент у для у в лотерее (у, Z)9 как и прежде, определим следующим образом: и($9 z)=E[u(y9 г)]. Если
241
фактор Z не зависит по полезности от У, а у и z независимы в вероятностном смысле, тогда, используя выражение (5.38), имеем
Б[и(д9 z)]-E[u(yy zo)]{l-E[u(y0, z)]} + + Е[и(у, гх)]Е[и(уо, z)]=u(y0y Z0) [l—u(y0, z)] + + u(yu Zi)u(yQ, z),
где уо и у\ являются детерминированными эквивалентами у, когда Z = Z0 и z=z\ соответственно, a z — детерминированный эквивалент ДЛЯ Z.
Более детально использование детерминированных эквивалентов для оценки лотерей обсуждалось в § 5.5. Основная причина удобства их применения следующая. Независимость по полезности позволяет выразить ожидаемую полезность лотереи, содержащей неопределенность в отношении более чем одного фактора, через ожидаемые полезности лотерей, содержащих неопределенность в отношении лишь одного фактора. Независимость в вероятностном отношении позволяет рассчитать ожидаемые полезности этих лотерей, вычислив ожидаемую полезность по каждой компоненте отдельно. Таким образом, может быть получено выражение для ожидаемой полезности «сложной» лотереи с многомерными (многофакторными) исходами через ожидаемые полезности более «простых» лотерей с одномерными (однофакторными) исходами. Тогда в этих более простых лотереях вместо неопределенных значений фактора может использоваться детерминированный эквивалент, который позволяет значительно упростить интерпретацию используемых лотерей.
5.6.6. Независимость по полезности как способ аппроксимации. Даже в том случае, когда ни один из факторов не является независимым по полезности от другого, представление функции полезности в виде выражения (5.38), которое было получено при допущении о независимости по полезности одного фактора от другого, может оказаться хорошей аппроксимацией для реальной функции полезности.
Основной аргумент в пользу выбора такой аппроксимации состоит в том, что использование выражения (5.38) дает пять степеней свободы при построении функции полезности u(yf z), в то время как использование полилинейного представления вида (5.16) дает четыре степени свободы, а применение аддитивного представления вида (5.10)—лишь три степени свободы. Рассмотрим иллюстрацию для двухмерного случая, представленную на рис. 5.12.
Последствия, оцениваемые непосредственно и характеризующие степени свободы, выделены на рисунке жирными линиями или точками. Точки, обведенные на рисунке кружками, представляют собой последствия, используемые для определения начала отсчета и единицы измерения функции и(у, z).
Аппроксимируя функцию .полезности аддитивной формой, мы можем варьировать
242
(a) профиль функции и(»9 Zo)—условной функции полезности от фактора Y9
(b) профиль функции и(у0у • )—условной функции полезности от фактора Z9
I
7-а <В
Sh у
а) Ад Штабная
функция (5J0)
г0Ъ
уг уо у
д)/7али/7і/неияая функция (5.76)
б)/7^/70//03OdffHUG' d)#C/70J7o30fc#?/e
UoWm-ZHUH(OdS) во//?сг#ге#?/я($&8)
Рис. 5.12. Построение функций полезности последствий, выделенных на рисунке, полностью определяет функцию полезности для указанных случаев
(c) единицу измерения функции и(у0, • ) относительно единицы измерения функции и(»9 Z0), это достигается установлением значения и(уоу Z1).
Эти три характеристики, определяемые с помощью непосредственной (прямой) оценки, как раз и представляют собой те три степени свободы, которые обусловливаются аддитивным представлением функции полезности.
При аппроксимации функции полезности полилинейной формой дополнительно к (а), (Ь), (с) необходимо выбрать
(d) единицу измерения условной функции полезности и(-9 Zi)9 зависящей от фактора У; это достигается установлением значения и(уи Zi).
И, наконец, при аппроксимации функции полезности формой, задаваемой выражением (5.38), к этому перечню степеней свободы надо добавить
(e) профиль функции и(-9 Zi).
Рис. 5.13 иллюстрирует некоторые общего характера профили функций полезности и(у9 z)9 типичные при использовании выражения (5.38). Общее ограничение для этих функций полезности состоит в том, что все условные функции полезности для фактора Z должны быть стратегически эквивалентны. На каждом из 15 рисунков пары таких эквивалентных функций выделены жирными линиями. Заметим, однако, что при этом функции и(*9 z) могут иметь различные профили. Ряды а и & на рис. 5.13 иллюстрируют различные изменения профилей функций и(», Zo)у и(*9 Zi) и и(уо9 •). На представленных рисунках показаны различные комбинации выпуклых и вогнутых условных функций полезности.
Ряд с иллюстрирует свободу, создаваемую выбором единицы измерения функций и(*, Zo) и Zi). И, наконец, ряды due показывают, что на условные функции полезности не накладыва-
243
ются такие ограничения, как монотонность функции или характеристика определенного отношения к риску. Повторим, что единственным ограничением, накладываемым на виды функции
о)
Уо У7 У Уо У Уо У/ У
д> у у Уо $ у Уо Уг у
