Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве другой иллюстрации того же доказательства рассмотрим вертикальную линию, проходящую через произвольную точку у. Функция полезности и (уу •) должна быть стратегически эквивалентна функции и(у0у •), которая уже задана. Полезно-ности последствий В я С нужны для нормализации функции
и (У. •)•
Сформулируем теперь более строго рассматриваемое утверждение.
Теорема 5.6. Если Z не зависит по полезности от У, тогда
и(у, z)=u(y, z0)[l—u(y0, z)]+u(y9 гх)и{уо9 Z)9 (5.38) где и(у3 z) нормализованно равенствами и(у0, Zq) = O и и(у0у
Zi) = I.
Доказательство. Значения Z0 и z\ можно выбрать так, чтобы удовлетворяли неравенству и(уо, г\)>и(уо, Zo). Установим начало отсчета и единицу измерения функции и(у> z):
и(Уо, zo) = 0; (5.39)
и{у0, Zi) = I. (5.40)
Поскольку Z не зависит по полезности от У, справедливо выражение (5.37). Вычисляя значение выражения (5.37) при Z=Zo и используя выражение (5.39), находим
и(у, Zo)=C^y)+с2(у)и(у0, z0)=cx(y). (5.41)
Объединяя выражения (5.41) и (5.37) и вычисляя значение функции и(у9 z) в точке zu получаем
и(у, zx)=u(y9 Zo)+c2(y)u(yo, Z1). Отсюда с учетом выражения (5.40) следует
с2(у) = и(У> Z1)—u(yt Zo). (5.42)
Подстановка выражений (5.41) и (5.42) в (5.37) приводит к следующему:
и(у9 z) = u(y, Zo) + [и(у9 Zi)—и(у, z0)]u(y0i Z) = = и(У, Z0)Il-w(y09 г)]+и(у9 z{)u(y0, Z)9 что и требовалось доказать.
234
Необходимо заметить, что функции полезности и(уо, •)> и(», Z0) и и(% Z\) являются условными. Равенства (5.39) и (5.40) определяют начало отсчета и единицу измерения функции и(Уо, •)» а также задают общую точку на кривых u(»t Zo) и и(% Zi). Для того чтобы единицы измерения этих функций установить равными единице измерения функции и(уо, •) и, таким образом, обеспечить неизменность единицы измерения функции полезности и(*9 необходимо найти эмпирическим путем еще по одному значению для каждой из условных функций полезности и(», Zo) и и(*, Zi). Это можно осуществить следующим образом. Подберем такое последствие (у0, Z2), которое равноценно последствию (y2i Z0)- Следовательно, значение полезности и(у0, Z2) равно значению полезности и(у2, г0), которое задает вторую точку для и(% Zo) и тем самым устанавливает ее единицу измерения. Аналогично можно найти последствие (уо, Z3), равноценное последствию (у$> Zi) и установить соответствующую согласованную единицу измерения функции (X Zi).
Для того, чтобы сделать понятнее смысл выражения (5.38), рассмотрим графические иллюстрации для двух конкретных случаев. В первом случае предположим, что У является двумерным, т. е. yss(x\9 х2), a Z— одномерным. Тогда теорема 5.6 утверждает, что если Z не зависит по полезности от У, то функция и (у, z) может быть определена двумя условными функциями полезности u(-,zo), м(-,2і), каждая из которых зависит от двух факторов, и одной условной функцией полезности и(уо, •)> зависящей от одного фактора. Обратимся к рис. 5.8,а: чтобы задать функцию w(-, •)> необходимо оценить лишь относительные значения полезности выделенных последствий, расположенных на гранях z=z0, z=zx и прямой с у=уо-
Рис. 5.8. Нахождение функций полезности последствий, выделенных на этом рисунке,
полностью 'опреде: Z ^заВишп ляет функцию? по-'7*
лез'ности 0/77 у \лт>*г)
//Є ЗСГ&С/СС//77
ПО ЛО/ГЄЗ/ҐОСЛ7Ц Ш Y
В качестве второй иллюстрации рассмотрим случай, в котором У является одномерным, a Z= (хи X2). Тогда из теоремы 5.6 следует, что если Z не зависит по полезности от У, то функция и(% •) определяется двумя условными функциями полезности и(*> Z0) и и(»9 Zi), каждая из которых зависит только от одного
235
фактора, и одной условной функцией полезности u(y0i зависящей от двумерного аргумента. Таким образом, для задания в этом случае функции и(», • ) необходимо оценить относительные значения полезности последствий, выделенные на рис. 5.8,6.
5.6.2. Использование кривой равного предпочтения вместо одной из условных функций полезности *>. В некоторых задачах может оказаться удобнее воспользоваться кривой равного предпочтения, а не условной функции полезности. Докажем, что при вычислении функции и(у, z) вместо условной функции полезности от У или от Z может быть использована кривая равного предпочтения, если она задана на той же самой области изменения переменной.
Теорема 5.7. Если Z не зависит по полезности от У, то
и (у, Z) = UUf9 Z0) + ^' ^]и (i/o, г), (5.43) L u(yBt Zn (у)) J
где
1. u(y0t Zo)=O.
2. zn(y) определена так, что (yt zn(y)) ~ (Уо, z\) для произвольно выбранного значения zx.
[Предварительное замечание. Таким образом, чтобы можно было воспользоваться результатами этой теоремы, необходимо-сначала убедиться, что Z не зависит по полезности от У, построить функции u(»f Zo) и и(уо, •)> а также найти кривую равного предпочтения на всем диапазоне изменения значений у.]
Доказательство. Зададим начало отсчета функции и(у, z):
и(уо, Zo)=O, (5.44)
и определим функцию zn(y) так, чтобы множество пар* {(У, Zn(y)) для всех у} являлось кривой равного предпочтения,, охватывающей все значения У. Поскольку кривая {(у, zn(y)) для всех у} должна пересекать линию {у0, z} для всех г), точку их пересечения можно обозначить через (уо, z\) и установить значение полезности для точек кривой равного предпочтения равенством
