Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
5.7.3. Использование свойств независимости по полезности для подпространств пространства YxZ. Идея проста: пространство последствий следует лишь разделить на такие части, для которых пригодны различные формы функции полезности, обсуждавшиеся в предыдущих параграфах. При этом нужно постоянно
246
помнить о том, что необходимо обеспечить согласованное шкалирование функции и(у9 г).
Пример 5.3. Предположим, что нужно найти функцию и(у, z) на области, ограниченной условиями и'^у^у" и z'^z^z"; при этом предпочтительность последствий увеличивается с увеличением значений каждого из факторов. Пусть фактор Z не зависит по полезности от Y при у^уо. Тоща, если положить и\(у0у z7j=O и ц\(уо, z")=\9 то из выражения (5.42) следует, что
Щ(у, г) = щ(у9 г')[1—щ(у0, г)]+щ(у, z")ux(yo9 z)9 Уо, z'^z^z".
Предположим также, что на оставшейся части исходной области-фактор Y не зависит по полезности от Z. Если задать 112(1/0, г')=№ и и2(у", z') = 1, топда
и2(у9 z)=u2(y09 z) [l—u2(y9 z')]+u(y"9 z)u(y9 H)9
У>Уо, z'^z^z".
Поскольку обе функции U\ и U2 обладают одним и тем же началом отсчета, для их согласованного шкалирования необходимо найти лишь шкалирующую константу X:
к=и2(у0, z")/ui(y0, z").
В этом случае согласованная функция полезности для всего пространства YxZ имеет следующий вид:
и(у z)= \Xui(У> 2)> У<Уо> z' < z < z"> \и2(у, z)9 У>Уо, z' <z<z".
5.7.4. Более слабые допущения относительно структуры предпочтений*). В этом пункте представлено несколько моделей, более общих, чем рассмотренные в предыдущих параграфах. Допущения, необходимые для существования этих более общих функций полезности, как и следовало ожидать, более сложные, чем использованные ранее. Преимущество таких моделей очевидно. В целом они оказываются более пригодными для описания определенной структуры, предпочтений лица, принимающего решение, и, следовательно, дают больше оснований надеяться, что представление не будет искаженным. Основной недостаток этих моделей— трудность их использования. Для более общих моделей значительно сложнее проверить справедливость необходимых допущений, а также произвести построение функции полезности и(у9 z)9 когда такая проверка завершена. При выборе модели для описания чьей-либо функции полезности необходимо учитывать это сочетание преимуществ и недостатков.
*> В 'данном пункте изложение будет неформальным. Это позволит, во-первых, передать особенности некоторых разработанных обобщений изложенных выше методов -и, во-вторых, указать источники, легшие в их основу.
247
«Обращение» предпочтений. Если фактор Z не зависит по полезности от У, то
и(у, z)=ci(y)+c2(y)u(y0i z),
(5.67)
<где функция с2(у) должна быть больше нуля. Отсюда следует, что порядок предпочтения лотерей с (исходами из Z будет всегда одним и тем же, независимо от значения у. Предположим, что с2(у) может принимать и отрицательные, и нулевые значения. Тогда, если с2(у')<0, то порядок предпочтений на лотереях с исходами из Z при заданном значении у' будет прямо противоположен порядку при заданном значении у0. Если с2(у')=0, т0 все лотереи с исходами из Z при заданном у' будут равноценны. Фиш'берн (1974) рассмотрел такие «обращения» предпочтений, а также случай равноценности и получил результаты, аналогичные результатам § 5.4
Обобщение свойства независимости по полезности. Наиболее -общим из обсуждавшихся до сих пор результатов было представление функции полезности в виде выражения (5.38), которое требует построения двух функций полезности для У и одной функции полезности для Z. Были определены необходимые и достаточные условия для того, чтобы можно было ограничиться построением «функций полезности по каждому фактору У и Z отдельно. При ,выполнении этих условий функция и(у, Z) может быть определена в результате построения согласованно шкалированных функций полезности для последствий, выделенных жирными линиями на рис. 5.12,2. Получаемая в результате функция полезности имеет следующий вид:
Необходимые допущения, доказательство самого результата (5.68) т обсуждение ряда вопросов шкалирования функций иу, uz, Jy и fz можно найти в работе Фишберна (1974).
Параметрическая зависимость. Как отмечалось в § 5.2, если фактор Z не зависит по полезности от У, то отношение к риску, характеризуемое предпочтениями относительно лотерей с исходами из Z, не зависит от фактора У. Керквуд (1976) нашел такое .-свойство параметрической зависимости, которое снимает указанное ограничение, но требует, чтобы предпочтения относительно исходов -из Z при различных значениях фактора У могли быть представлены функциями полезности из одного и того же параметрического семейства. Например, если предпочтительность исходов увеличивается при увеличении фактора У и имеет место несклонность к риску при всех значениях Z, но степень этой несклонности различна, получаем
Выражение (5.69) показывает, что все условные функции полезности от У зависят и от Z, и эта зависимость характеризуется параметром 9(г). В этом случае фактор У параметрически зависим
и(у9 z) = uY(y)+uz(z) +fa(y)fz(z).
