Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
где знак минус приводит к потенциалу Редже—Уилера, а знак плюс — к потенциалу Церилли. Кроме того, структура этих потенциалов явно гарантирует равенство коэффициентов отражения и коэффициентов прохождения для решений Z<+) и Z<-> и приводит к простым соотношениям взаимосвязи между Z^+) и Z<~>.
В теории возмущений есть еще один момент. Формализм Ньюмена—Пенроуза изначально не предусматривает разложения вейлевских скаляров W0 и 1P4 на аксиальную и полярную части. Разложение становится возможным, только если явно выразить W0 и 1P4 через возмущенные значения компонент тензора Римана. Как и должно быть, после разложения аксиальная и полярная части разделяются и поэтому с необходимостью должны удовлетворять одному и тому же уравнению, что и осуществляется на самом деле.
Теория возмущений имеет и другие грани, которые мы рассмотрим в гл. 10. Но из того, что мы знаем на данный момент, следует подчеркнуть две существенные особенности теории: во-первых, уравнение для W0 допускает дуальные преобразования, и, во-вторых (что непосредственно связано с первой), возможно разложение возмущений на аксиальную и полярную части.
34. Устойчивость шварцшильдовской черной дыры
Проблеме устойчивости шварцшильдовской черной дыры по отношению к внешним возмущениям — а только такие возмущения нам необходимо рассматривать — было посвящено много исследований. Постановка задачи следующая: задано произвольное ограниченное в пространстве, т. е. в конечном интервале изменения г* (или с «компактным носителем»), начальное возмущение. Останется ли оно ограниченным во все^последующие моменты времени?
Мы видели, что возмущения описываются одномерными волновыми уравнениями типа
d/
+ ?2/2 + х/ (?, X = const),
(379)
drl
f оЧ « VZ
(380)
с гладкими действительными потенциалами, которые не зависят от а и являются короткодействующими (т. е. интеграл от которых
34. Устойчивость шварцшильдовской черной дыры
203
по всей области изменения независимой переменной конечен). В этом случае применимы стандартные теоремы квантовой механики. Эти теоремы гарантируют, что собственные волновые функции какой-либо наблюдаемой образуют полную систему и что любая квадратично интегрируемая функция, описывающая состояние системы, может быть разложена в ряд по этой полной системе, и более того, интеграл от квадрата модуля любой функции состояния не должен меняться с течением времени, т. е. должен оставаться постоянным.
В нашем случае решения Z (г*, о) уравнения (380) для действительных значений а, удовлетворяющие граничным условиям (159), образуют базисную полную систему волновых функций и любое гладкое и ограниченное в пространстве начальное возмущение может быть представлено в виде интеграла от функций Z (/-„., а) типа
OO
0) = (2я)-'/2 J ф(а; 0)Z(r„; а) da, (381)
—оо
а эволюция возмущения в последующие моменты времени определяется интегралом
OO
??¦., 0 = (2я)-'/2 J ifto; O) <^Z (г*; a) da. (382)
-OO
Кроме того, обеспечено равенство
OO ' •«.J-; 1 OO OO
j I ф (г*; O) I2 dr,*= J I ф (a; O)J2 da= J Ц> (г,; /12 dr*. (383)
— OO —OO —OO
Ограниченность функции \р (г%, і) для всех t > О следует также из сравнения равенств (381) и (382).
Более слабый результат (но имеющий большое значение) следует из уравнения
¦Sr=!r-vz' (384)
которое переходит в уравнение (380) для отдельной фурье-компоненты, когда дифференциальный оператор dldt заменяется на to (это соответствует сделанному нами предположению (соотношение (16)) о временной зависимости возмущений вида еш). Умножая уравнение (384) на dZ*/dt, мы получаем после интегрирования по частям (при условии, что соответствующие интегралы сходятся)
Г 14? -?- + #"й?- + VZ J*) dr. - 0. (385)
204
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
Складывая уравнение (385) с комплексно сопряженным ему, получаем интеграл энергии:
OO —OO
Существование интеграла энергии ограничивает интеграл от функции \dZ/dt\2, следовательно, исключается экспоненциальный рост любого ограниченного решения уравнения (383).
35. Квазинормальные моды шварцшильдовской черной дыры
Последний параграф главы мы посвятим изучению того, что можно назвать собственными тонами черной дыры. Мы имеем в виду следующее.
Черная дыра может быть возмущена не только падающими гравитационными волнами, но и множеством других способов: падением тела в черную дыру или аккрецией окружающего ее вещества. Мы можем также рассмотреть образование черной дыры в результате слабонесферического коллапса звезды; при этом конечное состояние описывается решением Шварцшильда. Во всех этих случаях эволюция возмущений (если они могут рассматриваться как «малые») определяется суперпозицией базисных решений Z (г*; о) типа рассмотренной в предыдущем параграфе. Однако можно ожидать из общих соображений, что распад любого начального возмущения на поздних стадиях будет определяться характеристиками черной дыры и не будет зависеть от первоначальной причины, вызвавшей это возмущение. Другими словами, можно ожидать, что на самых поздних стадиях черная дыра будет излучать гравитационные волны, частота которых и скорость затухания определяются характеристиками самой черной дыры, точно так же как колокол испускает последними замирающие чистые тона. Эти соображения приводят к понятию квазинормальных мод черной дыры.