Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Точное определение следующее. Квазинормальные моды — это решения уравнений для возмущений, соответствующие комплексным собственным значениям частоты и удовлетворяющие граничным условиям для чисто уходящих волн на бесконечности и падающих волн — на горизонте. Задача, следовательно, состоит в поиске решений уравнений для Z*** с граничными условиями вида
^ ч f Л(±)(а)г^. (/-*->•+ оо),
Z<±>-> 387)
Это задача на собственные значения а, а решения, принадлежащие различным собственным значениям, определяют квазинормальные моды.
35. Квазинормальные моды
205
Заметим прежде всего, что экспоненциально растущие неустойчивые квазинормальные моды с Im о < 0 запрещены вследствие существования интеграла энергии (386), потому что, если бы такие моды существовали, решения, удовлетворяющие граничным условиям (387), убывали бы экспоненциально при г# ±00 и интегралы по г+ в уравнениях (386) сходились бы, что привело бы к противоречию. Следовательно, могут существовать только затухающие квазинормальные моды, но решения, соответствующие им, будут расходиться при -> =hoo — мы должны приписать это неявному предположению о «бесконечно больших» возмущениях в отдаленном прошлом.
Замечаем далее, что собственные частоты для Z<-> и Z<+> совпадают. Действительно, пусть о — собственная частота, a Z<-> (а) — соответствующее этому собственному значению решение, тогда решение Z(+) (а), построенное на основе Z<-> (а) с помощью (152), будет удовлетворять граничным условиям (387), в которых (см. уравнение (169)) следует положить
^¦w-^'-»wgg;tg;;ga. (зев)
Следовательно, достаточно рассмотреть только уравнение для Z<~>. Полагая
ZM = exp фаг*), (389)
получаем уравнение
*Ф. г* + о2-ф2- = 0. (390)
Нам нужно найти решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям
ф^-о (г. -++оо); ф +а (г^-оо). (391)
Решения уравнения (390), удовлетворяющие граничным условиям (391), существуют только для дискретного спектра значений о. В общем случае неизвестно, является ли это множество собственных значений конечным или бесконечным, но счетным.
Отметим полезное тождество, которое получается в результате интегрирования уравнения (390) с учетом граничных условий (391) (см. формулы (225)):
OO OO
- 2la + J (а2 - f) dr„ = J V<-> dr* - (1/2Af) (ц* + V2). (392)
—OO —OO
В табл. 4 дан список комплексных собственных значений частот а для различных значений /.
Подробные расчеты слабонесферического коллапса пылевых облаков и падения частиц с конечной массой в черную дыру при
206
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
Таблица 4
Комплексные собственные частоты квазинормальных мод шварцшильдовской черной дыры (а выражено в единицах (27H)"1)
/ 2Mo I 2Mo
2 0,74734 + 0,17792/ 4 1,61835 + 0,18832* 0,69687 + 0,54938t 1,59313 + 0,56877t
3 1,19889+ 0,18541t 1,12019+ 0,84658t 1,16402 + 0,56231t 5 2,02458+ 0,18974t 0,85257 + 0,74546t 6 2,42402 + 0,19053t
(Значения в разных строчках для /— 2, 3 и 4 соответствуют собственным частотам для разных мод.)
движении вдоль геодезических подтверждают существование явления «звона» черных дыр на частоте и со скоростью затухания квазинормальных мод.
Библиографические замечания
Классическая работа Т. Редже и Дж. А. Уилера
1. ReggeT., Wheeler J. A. Phys. Rev., 108, 1063—1069, 1957
положила начало исследованиям возмущений пространства-времени Шварцшильда, В начале 1970-х годов были опубликованы работы, продолжающие исследования в том же направлении:
2. VishveshwaraC. V. Phys. Rev. Dl, 2870—2879, 1970;
3. ZerilliF. J. Phys. Rev. D2, 2141—2160, 1970;
4. ZeHUi F. J. Phys. Rev. Lett., 24, 737—738, 1970;
5. Bardeen J. M., Press W. H., J. Math. Phys., 14, 7—19, 1972. Разработка теории на этом не закончилась. Не был известен даже такой важный факт как равенство коэффициентов отражения и прохождения для аксиальных и полярных возмущений (которые тогда назывались «нечетными» и «четными»). Многие другие соотношения выявлялись постепенно, часто при исследовании кер-ровской черной дыры. Поэтому в настоящей главе сведены вместе результаты и методы теории возмущений шварцшильдовской черной дыры, которые в разрозненном виде можно найти в следующих статьях:
6. Chandrasekhar S. Proc. Roy. Soc. (London) А343, 289—298, 1975;
7. Chandrasekhar S., Detweiler S. Proc. Roy. Soc. (London) A344, 441—452, 1975;
8. Chandrasekhar S., Detweiler S. Proc. Roy. Soc. (London), A345, 145—167, 1975;
9. Chandrasekhar S. Proc. Roy. Soc. (London) A358, 421—439, 1978;
10. Chandrasekhar S. Proc. Roy. Soc. (London) A358, 441—465, 1978;
11. Chandrasekhar S. Proc. Roy. Soc. (London), A365, 453—465, 1979;
12. Chandrasekhar S., Xanthopoulos В. C Proc. Roy. Soc. (London) A367, 1—14, 1979;
13. Chandrasekhar S.y Xanthopoulos В. C Proc. Roy. Soc. (London), A369, 425-— 433, 1980.
См. также
14. Chandrasekhar S. In: General Relativity — An Einstein Centenary Survey. Ed. S. W. Hawking, W. Israel, Cambridge, England, 1979.
