Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
стержня, а и — скорость звука. Нетрудно найти и время, в течение которого стержни соприкасаются друг с другом. Для этого рассмотрим дальнейшие процессы, происходящие в длинном стержне.
и и
--------1 I-------
CL ° V * v=M П1ПГПТ11 л V °
\v-d\
mii.iiiu i г I -
'и*Т.О
b'liiK.il
Ь=0\
Jhililliillll
-шиш
Рис. 25.5. Распространение волн упругой деформации и распределение скоростей частиц при столкновении стержней разной длины. Сжатие стержней показано вертикальными штрихами, а растяжение — горизонтальными. Изменение длины стержней при их деформации не показано
В тот момент, когда длинный стержень полностью освободится от деформации, скорости всех его частиц слева от середины стержня будут направлены влево, а скорости всех частиц правой половины стержня — вправо (рис. 25.5е).
ПО И- ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Поэтому в обе стороны от середины стержня начнет распространяться волна растяжения (рис. 25.5ж). В растянутой части стержня, которая на этом рисунке заштрихована, скорости частиц стержня равны нулю, а вне этой части по-прежнему равны и.
Когда волна растяжения достигнет концов стержня, скорости всех его частиц обратятся в нуль (рис. 25.5з). С этого момента короткий стержень перестанет касаться левого конца длинного стержня. Таким образом, с момента прекращения взаимодействия стержней до их разделения проходит еще время, равное 2Ни. Поэтому полное время пребывания стержней в контакте равно 4Ии.
Дальше растянутый длинный стержень опять начинает освобождаться от деформации (рис. 25.5«), и т. д. Такие чередующиеся волны сжатия и растяжения можно рассматривать как продольные колебания стержня, при которых в выбранной системе отсчета его середина стоит на месте. До столкновения стержни обладали только кинетической энергией поступательного движения. После столкновения кинетическая энергия короткого стержня такая же, как и до столкновения, так как изменилась только направление скорости стержня. Кинетическая энергия поступательного движения длинного стержня после столкновения равна нулю, так как он как целое покоится. Это значит, что энергия возникших в стержне колебаний равна его первоначальной кинетической энергии.
Таким образом, модель абсолютно упругого удара материальных точек, в которой принимается, что кинетическая энергия сталкивающихся тел сохраняется, оказывается совершенно неприменимой в случае столкновения упругих стержней разной длины. В самом деле, рассматривая стержни как материальные точки с массами т и 2т и применяя к их столкновению законы сохранения энергии и импульса, мы получили бы, что точка массы т после столкновения двигалась бы налево со скоростью 5v/З, а точка массы 2т — направо со скоростью о/З. ^
26. Столкновение трех стержней. Разобранный пример столкновения двух стержней, один из которых вдвое длиннее другого, позволяет легко выяснить, как происходит столкновение трех одинаковых стержней.
Д Будем считать, что длинный стержень в предыдущем примере на самом деле составлен из двух одинаковых коротких стержней (2 и 3 на рис. 26.1). Отметим прежде всего,
26. СТОЛКНОВЕНИЕ ТРЕХ СТЕРЖНЕЙ
111
что до тех пор пока в длинном стержне распространяется только волна сжатия (рис. 25.5а — е предыдущего примера) тот факт, что он состоит из двух отдельных кусков, не играет никакой роли в происходящих процессах.
Ясно, что взаимодействие стержней 2 и 3 начинается в тот момент, когда волна сжатия, распространяясь по
V V и
-> -
/ 2 3
Рис. 26.1. Столкновение трех одинаковых стержней
стержню 2, достигает его границы со стержнем 3. Это происходит спустя промежуток времени Пи после начала столкновения стержней 1 и 2. Спустя еще промежуток времени Ни взаимодействие стержней 1 и 2 прекращается, а стержней 2 и 3 — продолжается. Рассмотрим тот момент, когда длинный стержень, освобождаясь от сжатия, оказы-
/ 2 3
а с и 0 I ~ I ° и ^
1 2 3
б “ I * V ° ° V *
Рис. 26.2. Распределение скоростей частиц стержней после того, как стержни освободились от деформации
вается недеформированным. Этому моменту соответствует рис. 25.5е предыдущего примера. В этот момент скорости всех частиц стержня 2 направлены влево, а стержня 3 — вправо (рис. 26.2а). Так как эти стержни не соединены друг с другом, то никакой волны растяжения, разумеется, не возникает: стержни 2 и 3 просто удаляются друг от друга. При этом стержни 1 и 2 остаются в контакте друг с другом, так как движутся с одинаковыми скоростями налево (рис. 26.26). Разделение стержней 2 и 3 происходит спустя промежуток времени 2Ии после начала их взаимодействия, т, е. спустя время Ни после прекращения взаимодействия стержней 1 и 2.
Из сравнения рис. 26.1 и 26.26 видно, что результат столкновения сводится к тому, что крайние стержни 1 и 3 изменили направления своих скоростей на противоположные, а скорость среднего стержня 2 осталась без изменения.