Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
что вихри отсутствуют и уравнение неразрывно-
Р и с. 26. Координаты для волны раз* сти (т. е. закон сохра-режения Прандтля Мейера. неиия массы) удовлетво-
ряется.
В рассматриваемой задаче можно достаточно хорошо разобраться геометрически, используя специальную систему координат, связанную с нашим однопараметрическим семейством прямых. В качестве специальной системы координат рассмотрим угол 0, образуемый осью х с прямыми, и направленное расстояние h вдоль линии, ортогонально пересекающей прямые и отсчитываемой от некоторой фиксированной кривой, как показано на рис. 26. Если вспомнить, что заданные прямые представляют собой, «вообще говоря», касательные к некоторой плоской кривой Г, то сразу видно: (1) линии Э = const суть данные прямые; (2) линии h = const образуют ортогональное семейство эволют кривой Г; (3) ds2 — dh2 + r2dЭ2, где r = h + s(S) есть радиус кривизны эволюты, a s означает длину дуги вдоль Г.
В этой естественной геометрической системе координат легко записать условие незавихренности и условие сохранения массы.
По определению, незавихренность означает, что циркуляция по любой замкнутой кривой -j равна нулю. Если а обозначает
§ 92. Обратные методы
187
угол между прямой 6 » 9о и вектором скорости и(0о) с модулем q, то циркуляция по 7 равна
По теореме Грина, этот интеграл обращается тождественно в нуль тогда и только тогда, когда
Так как г = h + s(0), то dr/dh =» 1; далее, в силу свойства PI, величины q и а суть функции только 0. Поэтому условие не-завихренности эквивалентно условию
Положив g(8) — qcose и Л(в) «= ^sina, будем иметь f? — Л, что обобщает формулу (20) из $ 84.
Для того чтобы записать условие сохранения массы, заметим, что поток массы во внешнюю область через кривую 7 равен
По теореме Грина, этот интеграл тогда и только тогда обращается в нуль, когда
В только что введенных обозначениях последнее условие сводится к уравнению (—рЛ)' = р?, где штрих означает дифференцирование по 6. После подстановки Л = g* и упрощений получим P't + Pff + Рв = 0, или (g" + g) + (р'/р)g' - 0, т. е. уравнение (22) из § 84.
Следовательно, все течения, удовлетворяющие условию Р1, можно получить из течений Прандтля — Мейера заменой лучей, исходящих из вершины фиксированного угла, касательными к фиксированной кривой Г, причем векторная скорость в соответствующих точках остается той же').
') Этот результат получил Less F. Н., Proc. Camb. PhU. Soc., 22 (1924), 350—382; см. также [6], стр. 273—278, и приведенную там бнблюграфшо.
(54)
? pq (— sin a dh-\- cos a r rffl).
т
(— pq sin a)=(rpq cos a) = pq cos «. (55)
188
Гл. V. Теория групп и гидромеханика
Предыдущий пример является частным случаем более общей «обратной задачи» нахождения всех течений с одномерными годографами, т. е. таких течений, для которых векторы скорости описывают одну-единственную кривую'). (В общем случае годографом называется геометрическое место всех векторов скорости потока.)
§ 93. Общие замечания
Очевидно, что метод поиска симметричных решений как раз является одним из таких методов, при которых задаются произвольные функциональные соотношения и затем находятся удовлетворяющие им течения. Другим таким методом является разделение переменных. Таким образом, класс «обратных методов» включает в себя в качестве частных случаев метод поиска симметричных решений и метод разделения переменных.
Большим преимуществом метода поиска симметричных решений по сравнению с остальными двумя является то, что для него мы располагаем теоремами существования симметричных решений, по меньшей мере в малом (ср. § 89). А когда разделение переменных приводит к нетривиальным решениям, то последние обычно связаны с теорией групп.
Это положение можно проиллюстрировать на примере уравнения Лапласа \2U = 0 для стационарных течений Эйлера в пространстве и на примере уравнения Гельмгольца V2l/ + + k2U = 0. Было показано2), что в обоих случаях системы координат, в которых имеет место разделение переменных, принадлежат к нескольким известным классам, большая часть которых при преобразованиях над группой, порождаемой инверсиями относительно сфер, переходит в семейство параллельных плоскостей, в пучок плоскостей, проходящих через одну прямую, и в семейство концентрических сфер, т. е. в одну из систем координатных поверхностей для декартовых, цилиндрических или сферических координат. Это наводит на мысль, что к данной задаче можно непосредственно применить метод конформных преобразований, рассматривая инвариантность относительно конформной группы.
Однако утверждение, что всякое разделение переменных в гидромеханике связано с группами (внутренняя симметрия),
') Случай несжимаемой вязкой жидкосгм см. Muller W., Einfuhrung in die Theorie der zahen Fliissighciten, Leipzig, 1932; также Zeits ang. Math. Mech., 13 (1938), 395—408. Случай сжимаемой невязкой жидкости см. [72], а также Giese J. Н., Quar. Appl. Math., 9 (1951), 237—246.
г) См. [70], а также Moon P., Spencer D. Е., Proc. Am. Math. Soc.,
3 (1952), 635—642 и 4 (1953), 302—307 и приведенную там литературу.
