Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
TiJ(q) = Pfff(VU‘VU>)dR, (2')
входящая в равенство (2), называется тензором «присоединенной массы»; если учитывается и кинетическая энергия тела 2, то получающуюся в результате матрицу называют тензором «кажущейся массы».
Динамическая система, только что определенная, неголоном-на и имеет бесконечное число степеней свободы, если учитывать деформацию жидкости. Тем не менее естественно рассматривать се как обычную лагранжеву систему ([76], стр. 36) с шестью степенями свободы и считать, что конфигурация жидкости определяется ее границами, движущимися при наличии «идеальной связи» — несжимаемости. На деле такое допущение обычно принимается без доказательства ([7], гл. VI; [81], стр. 238 и [85], стр. 320). Мы докажем его в § 109.
Далее, по теореме Аванцини (§ 21, теорема 1) действие тяготения состоит просто в том, что к системе инерциальных сил без учета силы тяжести добавляется постоянная гидростатическая подъемная сила. Поэтому достаточно рассматривать случай L — Т нулевой потенциальной энергии, что соответствует g = 0. Этим определяется лагранжева система1), в которой «обобщенные силы» Q,- удовлетворяют уравнениям
Q/ = — (—— • О)
dt \ dq, I dqi '
Лагранжеву систему с нулевой потенциальной энергией можно назвать инерциальной лагранжевой системой; в § 101 —112 Мы рассмотрим тензор присоединенной (и кажущейся) массы, определяемый инерциальной лагранжевой системой (2), (3).
•) Точнее, частный случай лагранжевой системы. — Прим. ред.
200
Гл. VI. Присоединенные массы
§ 101. Тензор присоединенной массы
Вблизи положения g = 0 в некоторой системе отсчета удобно считать, что q\, q%, Яг определяют поступательные движения тела 2 в направлениях трех осей координат соответственно, a q4, qs, qe определяют повороты (в радианах) относительно этих осей. Тогда Thh (0) из формулы (2) представляют собой числа, зависящие от выбора осей координат, связанных с 2.
При любом таком выборе осей пусть Ul, U2, U3 обозначают потенциалы скоростей, соответствующие переносам в направлении осей с единичной линейной скоростью, а ?/4, U5, U6 — потенциалы скоростей при вращении тела вокруг этих осей с единичной угловой скоростью. Тогда кинетическая энергия жидкости Т из формулы (2) определяется равенством
2 Т = qhqk fffp {VUh • VU*) dR = qhqk Thk, (4)
где мы суммируем по повторяющимся индексам (обычное соглашение в тензорном исчислении). Как и в формуле (2), dR = dxidx2dx3 есть элемент объема жидкости; кроме того, поскольку VUhVU,l = VUkVUh, очевидно, имеем Thh = Thh, т. е. тензор присоединенной массы симметричен.
При ускоренном движении из состояния покоя все q^ — 0; следовательно, уравнение (3) сводится к уравнениям простого вида:
Qh=Thk (0)qh, если q = q = 0. (5)
Отсюда следует простая интерпретация величины 7\й; это есть k-компонента силы, если телу в состоянии покоя сообщают единичное ускорение в направлении h. Кроме того, так как Thh = Thh, мы сразу получаем следующий принцип взаимности ([76], стр. 305): ^-компонента силы при единичном ускорении в направлении h равна ft-компоненте силы под действием единичного ускорения в направлении k.
В простом случае (5) легко проверить непосредственно, что наша система лагранжева. В силу второго тождества Грина ([4], стр. 212) справедливо равенство
П, = рЯ/™*то*«='Я^(тгК (6)
Но в этом случае производная dUh/dn равна (гл. I, (7)) нормальной составляющей скорости тела 2 при движении с единичной скоростью в направлении q^. Введем теперь следующее
§ 101. Тензор присоединенной массы
201
удобное обозначение, которое будем использовать и в дальнейшем, dSk = (d(Jk/dn)dS, так что можно записать соотношения:
По самому определению величины Тни очевидно равенство
Очевидно также, что если обозначить через р скалярное да-
компоненты силы, с которой тело S действует на жидкость, а
ты момента этой силы.
Теперь рассмотрим течение, возникающее из состояния покоя при единичном ускорении в направлении qn. Легко подсчитать, что если в начале U = 0 и dU/dt = Uh, то U(jc; t) отличается от tUh(x) на бесконечно малую величину второго порядка относительно t. Так как мы свели задачу к случаю g = 0, то из уравнения Бернулли для давления жидкости, движущейся с ускорением [гл. I, (5)], следует уравнение
Отсюда видно, что начальное гидродинамическое давление ph всюду равно произведению «потенциала ускорений» Uh на плотность р. Соответствующая подстановка в формулу (8) дает
нии из состояния покоя, вызванном единичным ускорением в направлении qh. В частности, Qi, Q2, Q3 представляют собой обычные компоненты силы относительно выбранных нами осей, a Q4, Q5, Qe — соответствующие моменты. Этим оправдано предположение (3) для случая (5), т. е. для случая ускорения тела из состояния покоя.
Когда движение сводится только к поступательному, координаты (<7ь q%, <7з) могут быть использованы в большом. Тогда Tij (q) = Ttj (0), т. е. постоянные, и, таким образом, из формулы (3) следует соотношение
dSl = dx2 dx:3, dS2 = dx:3 dxx, dS3 — dxx dx2, d S 0 d .x. dS<%> dS 5 ~ x^ dS x xx dS^, (7)
dSfi — a" j dS2 x2 dS j.
Tu = PffuhdSk = ?ffu*dSt.
