Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
(8)
вление, то
представляют собой
представляют собой компонен-
Р+у pVi/Vi/ -f- р = const.
(8*)
есть k-компонента силы при движе-
d (дТ\ дТ
202
Гл. VI. Присоединенные массы
Отсюда видно, что парадокс Даламбера (§ 7) возникает уже из-за принятия предположения (3), и это заставляет нас вспомнить, что наша модель в общем не соответствует физической действительности. Более сложным оказывается исследование моментов и вообще величин, характеризующих вращение при наличии поступательного движения (см. § 111—112).
Выведенные выше формулы относятся к «присоединенной» массе. Очевидно, что кажущаяся масса, определяемая как сумма собственной массы находящегося в жидкости (твердого) тела 2 и присоединенной массы, представляется другим симметричным тензором (матрицей), обладающим в точности теми же свойствами.
§ 102. Геометрические фигуры частных видов; тело Рэнкина1)
Коэффициенты присоединенной массы были подсчитаны теоретически не только для сферы, но и для тел простой геометрической формы. Обычно их приводят в безразмерном виде, выражая их через отношение k присоединенной массы ко всей массе, равной произведению плотности р на объем (2) вытесненной жидкости.
Многие результаты, полученные различными авторами, приведены в книге Ламба [7]. Эллиптические цилиндры в случае поступательного движения и вращения рассматриваются в [7], § 71 и § 105—107; сфероиды и эллипсоиды —в {7], § 105—107 и § 113—116; пара сфер —в [7], § 113—116.
Можно также вычислить присоединенную массу различных других «двумерных» фигур (цилиндров, движущихся параллельно своей оси). Так, Тейлор2) подсчитал величину k для различных многоугольников и параболических двуугольников. Различные авторы3) рассматривали также круги и эллипсы с симметрично расположенными стабилизаторами с целью исследовать стабилизирующее действие, которое оказывают на летательный аппарат рулевые поверхности.
*) Многие из результатов, приведенных в этом параграфе и в других параграфах этой главы, можно найти в работах JI. И. Седова [25*] и [27*]; см. также Риман И. С., КРепс Р. Л., Присоединенные массы тел различной формы, Тр. ЦАГИ № 635, 1947 т.—-Прим. рес).
2) Taylor J. L., Phil. Mag., 9 (1930), 161—183. Случай параллельных пластинок см. Р я б у ш и н с к и й Д., Proc. Int. Math. Congress, Strasbourg (1920), 568—585; см. также Bickley W. G., Phil. Trans., A228 (1929), 235—274 и Proc. Lond. Math. Soc., 37 (1934), 82—105 и Seth B. N.. Publ. LucKnow Univ. (1938—1939).
9) Kuerti G. и др., Navord Rep. 2295 (1952); Bryson A. E., J. Aer. ScL, 20 (1953), 297-308 и 21 (1954), 424-426; Summers R. С., там же, 12 (1953), 856—857, ср. с формулой (22).
§ 102. Геометрические фигуры частных видов; тело Рэнкина 203
Из других осесимметричных тел, для которых аналитически найдена присоединенная масса, можно назвать тор, сферические луночки и «линзы», ограниченные соосными сферическими сегментами1). В случае сфер были исследованы и слабо деформированные сферы.
Можно также рассмотреть тела Рэнкина — твердые тела вращения, которые при обтекании равномерным потенциальным потоком параллельно оси хх эквивалентны системе источников и стоков, размещенных на этой оси. Мы рассмотрим сейчас подобные тела Рэнкина в порядке обобщения результатов Макса Мунка и Дж. Тейлора 2).
Первый шаг заключается в том, что к выражению UVxx —
— x^U применяется второе тождество Грина с учетом того, что V2(J =V2xj = 0. Итак, если S" — большая сфера, содержащая 2, a R — область между поверхностью S тела 2 и сферой S", то, полагая Uh = U, мы получаем из формулы (8)
причем —д/дп — д/дг на сфере S". Интегралы по сфере S" можно легко оценить асимптотически, если воспользоваться представлением
Так как площадь сферы S" равна 4ту2, членами О (г-3) соответственно О (г4) в формуле (10) можно пренебречь. В силу симметрии отпадают слагаемые, содержащие fi2, ^з. Чтобы оценить остаток, мы воспользуемся сферическими координатами,
!) Относительно тора см. Hicks W. М., Phil. Trans., 172 (1881), 609 и Dyson F. W., там же, 184 (1892), 42. О сферических луночках см. Bassett А. В., Ргос. Lond. Math. Soc,, 16 (1885), 286. Относительно линз см. Shi ff man М. and Spencer D. С., Quar. Appl. Math., 3 (1947), 270—288; Payne L. E,, там же 10 (1952), 197—204. По поводу почти сферических тел см. Szego G,, Duke Math. J., 16 (1949), 209—223; также Plana, Mem. accad. sc. Torino, 38 (1835), 209.
2) NACA Tech. Notes, 104—106 и [83]; см. также [7], § 121a; T о 11 m 1 е п W.,
Ing.-Archiv, 9 (1938); Landweber L., Quar. Appl. Math., 14 (1956), 51—56
и J. Fluid Mech., 1 (1956), 319—336.
s
204
Гл. VI, Присоединенные массы
положив xi = г sin <р, dS = 2тсd (sin <р). Интеграл по сфере 5" с точностью до 0(г1) равен величине
*й
2тср'1р J (2 sin2 ср + sin2 9} d (sin <p) = 2тгрцг [sin3 <p]lj = 4ир;лг.
-к/2
Поэтому, переходя к пределу при г-*- оо, мы получим соотношение
T\h — Thi — - pff*i (^rjds> (12)
где pu есть момент диполя величины Uh для направления Ж]. Заметим, что вывод формул (10) — (12) справедлив для любой функции U, регулярной на бесконечности и удовлетворяющей
