Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
отщеплению от седлоузла АВ устойчивого узла А внутрь первого квадранта.
Вторая, отвечающая значениям параметров, при которых вертикальная нуль-
изоклина v = 0 проходит через максимум нулытзокли-ны и = 0, соответствует
потери устойчивости равновесием А. Уравнение
41
а
Рис. 3.4.2. Два варианта расположения нуль-изоклин (а), параметрический
(б) и фазовый (в) для области 4 портреты системы (3.4.4)
этой линии (нейтральности N) задается условием
п = т21(1 - 2т).
Рассмотрим возможные изменения в фазовом портрете при пересечении в
пространстве параметров {т, п) линии N. Известно, что при этом фокус А
теряет устойчивость. Это может происходить двумя способами. Во-первых, на
фазовом портрете может рождаться малый устойчивый предельный цикл и, во-
вторых, стягиваясь в точку, ''умирать" малый неустойчивый предельный
цикл. Рассмотрим, что происходит в системе (3.4.4), вычисляя третью
фокусную величину Ly на линии нейтральности равновесия [28]. Для
уравнений (3.4.4) значение Ly задается выражением
я (1 - 2ш)(4ш - 1)
1 ~-, ,
4 т(1 - т)
яг f 1 1 I
положительным выше точки s |т= -, п =- | на линии нейтральности и
отрицательным ниже ее. Таким образом, при пересечении в пространстве
параметров линии нейтральности выше этой точки на фазовом портрете
системы рождается малый устойчивый предельный цикл. При пересечении же
линии нейтральности справа налево ниже п = 1/8 на фазовом портрете
стягивается в точку малый неустойчивый предельный цикл. Это с
необходимостью означает существование на параметрическом портрете еще
одной бифуркационной кривой Q, лежащей между линией нейтральности и
вертикалью т = 1. Такой кривой является линия бифуркации рождения пары
циклов из сгущения траекторий или, другими словами, линия бифуркации
кратных циклов. Один ее конец находится в точке f на линии нейтральности
[10], второй - в начале координат параметрического портрета.
Линия Q кратных циклов является на плоскости параметров одной из границ
области, отвечающей существованию на фазовом портрете двух вложенных друг
в друга предельных циклов, из которых внешний устойчив. Второй границей
этой параметрической области является линия нейтральности (см. рис.
3.4.2, б).
Отметим два существенных обстоятельства. Во-первых, качественный характер
поведения системы (3.4.4) по-прежнему, как и всех ранее ис-
следованных систем, не зависит от значения параметра у; во-вторых, в
отличие от ранее исследованных систем он не полностью определяется
взаимным расположением нуль-изоклин: положение вертикальной нуль-изоклины
v = 0 правее максимума нуль-изоклины н = 0 может отвечать как глобальной
устойчивости равновесия А (см. рис. 3.4.1, в, область 2), так и
существованию на фазовом портрете пары устойчивых циклов (см. рис.
3.4.2,в). Фазовые портреты для областей 1, 2, 3 тождественны изображенным
на рис. 3.4.1, в.
Рассмотрим, что происходит в системе при изменении значения параметра т
для фиксированного значения п< 1/8. Пусть первоначально 1 > > т> 1/2.
Тогда существует одно глобально притягивающее равновесие А. По мере
уменьшения т в пространстве параметров пересекается линия кратных циклов,
но это никак не сказывается на локальной устойчивости равновесия А и
остается незамеченным для наблюдателя, следящего за состоянием равновесия
системы. Изменяется лишь область притяжения равновесия: она становится
ограниченной внутренним, неустойчивым предельным циклом. При этом любое
достаточно сильное возмущение выводит систему за границу области
притяжения равновесия и переводит в режим автоколебаний.
По мере дальнейшего уменьшения т уменьшается и область притяжения А. В
момент, соответствующий пересечению в пространстве параметров линии
нейтральности, область притяжения А стягивается в точку. Равновесие А при
этом теряет устойчивость, и траектории системы накручиваются изнутри на
''большой" предельный цикл. Происходит жесткое возбуждение автоколебаний.
При движении по параметру в обратном направлении наблюдатель, следящий за
автоколебательным режимом, напротив, не замечает пересечения значением
параметра линии нейтральности. Предельный цикл при этом продолжает
существовать и остается устойчивым. При дальнейшем увеличении т в момент,
когда значение т пересекает линию кратных циклов, происходит ''жесткий
срыв" автоколебаний, они становятся затухающими и система приходит в
состояние равновесия.
Для экологических приложений важное значение может иметь характерное для
жесткого режима возбуждения автоколебаний явление гистерезиса. При
движении по параметру в прямом и обратном направлениях одинаковым
значением параметра могут соответствовать разные режимы функционирования
экосистемы. Другими словами, восстановление условий существования системы
не гарантирует восстановления режима ее функционирования.
Заметим, что в физике термин ''жесткий режим возбуждения автоколебаний"
часто употребляется в двух тесно связанных, но все же различных
значениях. В фазовом смысле жестким режимом возбуждения автоколебаний
