Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Базыкин А.Д. -> "Математическая биофизика взаимодействующих популяций" -> 22

Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.

Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций — М.: Наука, 1985. — 181 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskayabiofizikavzaimpopulyaciy1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 83 >> Следующая

нейтральности тождественно обращается в нуль не только первая, но и вся
бесконечная последовательность ляпуновских величин более высоких
порядков. Это означает, что бифуркация условной коразмерности один,
соответствующая выполнению одного условия типа равенства, накладываемого
на параметры конкретной системы, может в действительности в силу системы
отвечать коразмерности более высокого порядка. В случае системы (3.4.6)
выполнение равенства и0 = 1//сГ формально отвечает бифуркации бесконечно
большой коразмерности.
Фактически мы уже встречались с этой ситуацией в разд. 3.3. при анализе
однопараметрических модификаций исходной модели (3.1.2). Система
(3.1.2) является консервативной, поэтому каждый раз обращение в нуль
''возмущающего" параметра формально отвечает бифуркации бесконечно
высокой коразмерности. Содержательно эта ситуация в отличие от
рассмотренной в настоящем пункте не представляет большого интереса, так
как соответствующие бифуркационные значения параметров лежат каждый раз
на границе области значений, имеющих биологический смысл.
Интерпретируем полученный результат. Система (3.4.6) описывает динамику
пары популяций хищник-жертва при третьем типе функциональной реакции
хищника на плотность популяции жертвы. Этот тип реакции учитывает
одновременно существование двух факторов, один из которых - квадратичная
зависимость скорости выедания от плотности популяции жертвы - является
стабилизирующим, а второй - насыщение хищника - дестабилизирующим.
Результат исследования уравнений (3.4.6) состоит в том, что преобладающая
роль того или иного фактора приводит к глобальной стабилизации или
соответственно дестабилизации равновесия.
3.4.4. Конкуренция хищника за отличные от жертвы ресурсы и насыщение
хищника
Система, учитывающая одновременное действие стабилизирующего фактора
конкуренции хищника за отличные от жертвые ресурсы и дестабилизирующего
фактора насыщения хищника, описываемого вторым типом функциональной
реакции хищника на плотность популяции жертв,имеет вид [12] х = ах - Ьху
1(1+Ах), у = -су + dxy/(1 +Ах) -еу2.
а а
Замена t = r/a, х =- и, у =-v переводит эту систему в d Ъ
н = н - ни/(1 + аи),
i> = - yv + ми/(1 +аи) - 5v 2, (3.4.7)
где у = cja, а = Aa/d, 6 = eafb.
46
Я " гг 0 ^ / ес
гг &
Рис. 3.4.4. Два варианта взаимного расположения нуль-изоклин (а) и
параметрический портрет (б) системы (3.4.8)
Воспользуемся приемом, предложенным во введении к разделу 3.4, и сначала
исследуем уравнения (3.4.7) при 7=1,3 затем рассмотрим эволюцию
двупараметрического портрета { а, 5} при изменении параметра у. Таким
образом, рассмотрим систему
м - и -uv/( 1 + ап),
ц =-v +uvl(l +av)-Sv2. (3.4.8)
Уравнения нуль-изоклин имеют вид
(1 - а)и - 1
и = 0, v = 1 +аи; v = 0, v =
5(1+ аи)
При а > 1 при любых значениях переменных 0 < 0.
Описание и интерпретация поведения такой системы даны при исследовании
уравнений (3.3.6).
При а < 1 либо равновесий в первом квадранте нет вовсе, либо имеются два
равновесия А и С (рис. 3.4.4, а).
Графический критерий, до сих пор использовавшийся для определения
характера локальной устойчивости нетривиальных равновесий, в отношении
системы (3.4.8) неприменим. Кроме того, это первая из исследуемых нами
систем, в которой реализуется больше одного нетривиального равновесия.
Линеаризация уравнений (3.4.8) в окрестности точки показывает, что С -
седло при любых значениях параметров, а А - неседло (т. е. узел или
фокус) и в зависимости от значений параметров может быть устойчивым или
неустойчивым.
Условие
5= (1 - а)2/4а (3.4.9)
отвечает касанию нуль-изоклин и является уравнением линии, разделяющей на
плоскости параметров {аг 5} области, для которых на фазовом портрете
равновесий нет вовсе или имеется пара равновесий (см. рис. 3.4.4, б). Оно
соответствует бифуркации коразмерности один слияния и ''аннигиляции" двух
равновесий: седла С и узла А. Таким образом, выражение
(3.4.9) является также условием существования на фазовом портрете
системы вырожденной особой точки типа ''седлоузел". Здесь и в даль-
47
Рис. 3.4.5. Грубые фазовые портреты системы (3.4.8)
нейшем линию на параметрическом портрете, отвечающую существованию
седлоузла на фазовом портрете системы, будем называть линией седло-узлов
и обозначать буквой S.
Линеаризация системы (3.4.8) в окрестности точки А показывает, что на
параметрическом {а, 5} портрете системы существует линия, на которой
обращается в нуль действительная часть пары комплексно сопряженных
собственных значений системы - линия нейтральности N равновесия А (см.
рис. 3.4.4, б). Линия нейтральности выходит из начала координат и
Касается линии седлоузлов S в точке SB-
При значениях параметров, лежащих выше линии N, равновесие А устойчиво, в
противном случае - неустойчиво. Первая ляпуновская величина L1 > 0 на
всей линии нейтральности. Таким образом, при пересечении в пространстве
параметров линии N сверху вниз на фазовом портрете системы равновесие А
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 83 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed