Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
обратное.
54
0 и 0 и
Рис. 3.4.9. Структура параметрической окрестности точки 36" максимального
вырождения (а) и фазовые портреты (б) системы (3.4.11) при значениях
параметров в областях 3 и 4
Фазовые портреты уравнений (3.4.12) для бифуркационных значений
параметров, лежащих на линии S седлоузлов, аналогичны таковым для системы
(3.45), изображенным на рис. 3.4.6, нив.а для области 1 - на рис. 33.3,г.
Рассмотрим теперь систему (3.4.11) при у Ф 1. Направление касания линии S
седлоузлов и линии N' нейтральности различно в зависимости от знака
неравенства уФ\. Параметрическая точка.36 отвечает бифуркации
коразмерности два - существованию на фазовом портрете вырожденного
седлоузла, т.е. равновесия с двумя нулевыми собственными числами.
Параметрический портрет {а, 0} системы (3.4.11) при у < 1 качественно
совпадает с таковым для системы (3.45) в параметрах { а, б} ,ацри 7> 1
симметричен ему относительно диагонали первого квадранта (а, /3} (см.
рис.
3.4.4, б).
Трехпараметрический портрет (а, 0, у}в окрестности точки 36*
максимального вырождения (а = 1/4, 0 = 1/4, у = 1), в которую сходятся
все параметрические области системы (рис. 3.4.9), построен с
использованием следующего графического приема, предложенного автору А Я.
Хибником. Мысленно окружим точку36± малой сферой. Затем разрежем сферу по
55
большому кругу и две ее половины спроецируем на плоскость. Разбиение
одного из двух получившихся кругов на области дает полное представление о
структуре параметрической окрестности точки(r)4. Второй круг целиком
относится к параметрической области / . Сама точка(r)4 на диаграмме,
естественно, отсутствует. Точки на диаграмме соответствуют точкам
пересечения в трехпараметрическом пространстве линий, отвечающих
бифуркациям codim 2, со сферой. Линиям на диаграмме отвечают линии
пересечения со сферой поверхностей, отвечающих бифуркациям codim 1.
Подчеркнем, что структура параметрической окрестности точки(r)4 системы
(3.4.11) не является случаем общего положения, поскольку в этой
окрестности имеется линия значений параметров, при которых система
гамильтонова.
Первая ляпуновская величина на линии нейтральности <0 при у < 1 и Li > 0
при 7> 1. Это означает, в частности,что при пересечении при у > 1 линии
нейтральности слева направо значениями параметров на фазовом портрете
равновесие А теряет устойчивость в результате стягивания в точку малого
неустойчивого предельного цикла (см. рис. 3.45,6) .
Итак, построение параметрического портрета и полного набора фазовых
портретов системы завершено. Заметим, что система (3.4.11) - первая из
исследованных нами, качественное поведение которой зависит от параметра
у.
Опишем структуру параметрического портрета {a, /J, 7} подробнее. Она
задается взаимным расположением трех поверхностей: S (седлоузлов АС), N
(нейтральности равновесия А) и Р (петли сепаратрисы седла С). Все три
поверхности отвечают бифуркациям коразмерности один. Линия касания 53
поверхности S с поверхностями N и Р отвечает бифуркации коразмерности два
существования на фазовом портрете вырожденного седлоузла - особой точки с
двумя нулевыми собственными значениями. Линия NP пересечения в
пространстве параметров бифуркационных поверхностей N и Р в случае общего
положения должна была бы отвечать бифуркации коразмерности ''один плюс
один". Это означает, что при значениях параметров,удовлетворяющих двум
условиям Типа равенства, на фазовом портрете системы бифуркациям
коразмерности один подвержены два фазовых объекта: меняется знак
устойчивости равновесия А и взаимное расположение сепаратрис седла С. При
этом в случае общего положения первая ляпуновская величина из
параметрической линии NP может, вообще говоря, принимать любые значения и
обращаться в нуль лишь в некоторых точках. В конкретном случае системы
(3.4.11) на параметрической линии NP, задаваемой условиями 7 = 1, а. =
/3, первая ляпуновская величина Ьщ 0. Тождественно равны нулю на этой
линии и все ляпуновские величины высших порядков. Это означает, что
параметрическая линия NP, отвечающая условной коразмерности ''один плюс
один", для системы (3.4.11) является линией консервативных систем,
т.е.формально отвечает бифуркации бесконечно большой коразмерности.
Все фазовые портреты системы (3.4.11), за исключением фазового портрета
при значениях параметров, принадлежащих параметрической области 4,
качественно аналогичны соответствующим фазовым портретам системы
(3.4.7) и уже описаны и интерпретированы в предыдущем пункте.
Совпадение естественно, поскольку системы (3.4.7) и (3.4.11) описывают
дей-56
ствие одних и тех же факторов: насыщения хищников и конкуренции между
ними, и различие состоит лишь в объекте конкуренции. Система
(3.4.11) описывает конкуренцию за жертву, а система (3;4.7) - за отличные
от жертвы ресурсы. Различие между системами (3.4.7) и (3.4.11)
проявляется в появлении на параметрическом портрете уравнений (3.4.11)
области 4, отсутствовавшей для системы (3.4.7). Этой параметрической
