Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
называется ситуация, когда на фазовом портрете системы существует
устойчивое равновесие, область притяжения которого ограничена
неустойчивым предельным циклом, заключенным, в свою очередь, в устойчивый
предельный цикл (см. рис. 3.4.4, в). При малых возмущениях равновесие
системы в процессе затухающих колебаний восстанавливается, а при
достаточно больших возмущениях система переходит в автоколебательный
режим.
43
В параметрическом смысле жестким возбуждением автоколебаний называется
описанный выше процесс возникновения в системе автоколебаний сразу
''большой" (т. е. конечной, а не бесконечно малой) амплитуды при
пересечении параметром критического значения. В экологических приложениях
полезны оба эти понятия. Какое именно имеется в виду, обычно ясно из
контекста.
Впервые на возможность существования нескольких вложенных друг в друга
предельных циклов в модели хищник-жертва указывал Колмогоров [135]. Мэй
[144, 145] считал, однако, что в этой системе может реализовываться либо
устойчивое равновесие, либо устойчивый предельный цикл. Альбрехт и другие
авторы работ [100, 101] сформулировали требования на вид входящих в
модель хищник-жертва функций, обеспечивающих одновременное существование
устойчивого и неустойчивого циклов, однако не дали экологической
интерпретации этих требований.
В экологических моделях жесткий режим возбуждения автоколебаний был
обнаружен в работах [84, 85] для исследованной выше системы и в работе
[121] для системы, с трудом допускающей экологическую интерпретацию.
Основной результат исследования системы (3.3.4) состоит в том, что
комбинация стабилизирующего и дестабилизирующего факторов может приводить
как к мягкому, так и к жесткому режимам возбуждения автоколебаний в
системе хищник-жертва.
3.4.3. Нелинейность выедания хищником жертвы при малой плотности
популяции жертвы и насыщение хищника (третий тип трофической функции)
При анализе трофических функций для различных типов функциональной
реакции хищника на жертву указывалось, что трофическую функцию для
третьего типа реакции естественно записывать в виде
b(x) =Ьх2/(1 + Atx + А2х2\
Возможна и упрощенная запись функции в предположении А х = 0.
Таким образом, рассмотрим систему Ьх2у
dx2y
(3.4.5)
Ъ ad
После замены t = т/а, х =-и, у =-- v получаем
d Ъ2
(3.4.6)
где у - с /а, а =А b/d2. 44
Рис. 3.4.3. Возможные варианты взаимного расположения нупь-изокпин (а) и
фазовый портрет (б) системы (3.4.6) при и0 = соответствующий прохождению
нуль-изокпины v = 0 через минимум нуль-изоклины U = О
Уравнения нуль-изоклин системы имеют вид
При try > 1 нетривиальных равновесий в положительном квадранте не
существует: у < 0 при любые значениях переменных. При исследовании в
качестве параметра удобно воспользоваться абсциссой равновесия и0 = / yj
( \-ау)[ Тогда в соответствии с графическим критерием устойчивости
равновесие локально устойчиво при и0 < 1/чГа1 (рис. 3.4.3, а). Более
того, построение функции Дюлака [28] в предложенной Шу [125] форме
обнаруживает [25], что у системы при этом не существует предельных
циклов, т. е. равновесие устойчиво глобально (см. тождественный портрет
на рис. 3.3.4). Что происходит с фазовым портретом системы при переходе
параметром и0 по мере его возрастания критического значения 1/\Лх?
Вычисление первой ляпуновской величины/. 1 не дает ответа на поставленный
вопрос, поскольку оказывается, что в пространствепараметров{мо,а)на линии
нейтральности и0 = 1 //а1 величина Li = 0. (Параметрический портрет
системы (3.4.6) тривиален - он состоит из одной линии и0 = 1/J~a и потому
на отдельный рисунок не вынесен.) Более того, А.И. Хибником [25] было
установлено, что та же самая функция Дюлака позволяет доказать отсутствие
циклов в системе (3.4.6) при и0 > 1 /<Га. Из этого следует, что
равновесие А при и0 > 1/Уа неустойчиво глобально - все траектории уходят
на бесконечность (аналогично портрету на рис. 3.3.1). Это, в свою
очередь, означает, что на линии нейтральности система консервативна (см.
рис. 3.4.3, б).
Таким образом, можно сказать, что при пересечении параметром м0
критического значения в системе происходит не локальная, а глобальная
перестройка фазового портрета. В физических терминах зто можно назвать
жестким параметрическим возбуждением из глобально устойчивого равновесия
автоколебаний бесконечно большой амплитуды.
Остановимся на полученном результате подробнее. Выше было сказано, что в
случае общего положения линия нейтральности отвечает бифуркации
коразмерности один и ее пересечение в пространстве параметров отве-
и = 0, v
45
чает рождению (гибели) на фазовом портрете малого предельного цикла.
Подчеркнем слова "в случае общего положения". В этом случае первая ля-
пуновская величина L! обращается в нуль, вообще говоря, лишь в отдельных
точках линии нейтральности. Однако при конкретной параметрической записи
системы может оказаться, например, что L\ = 0 на всей линии
нейтральности. В случае системы (3.4.6), более того, на линии
