Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Базыкин А.Д. -> "Математическая биофизика взаимодействующих популяций" -> 17

Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.

Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций — М.: Наука, 1985. — 181 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskayabiofizikavzaimpopulyaciy1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 83 >> Следующая

Учет этого фактора приводит к системе
Из уравнений нуль-изоклин (и = 0, и = 1 + аи; v = 0, и = у/(1 - ау)
видим, что внутри первого квадранта равновесие существует лишь при ay <
1. Этот формальный результат допускает естественную интерпретацию.
Действительно, максимальная скорость прироста популяции хищника при
избытке жертвы составляет 1/а. Соответственно при а у > 1 производная^ <
О для любых значений переменных, нетривиального равновесия не существует
и популяция хищника обречена на вымирание. При ay < 1 равновесие внутри
первого квадранта существует, но всегда неустойчиво. Фазовый портрет
системы при различных значенияхтаараметров представлен на рис. 3.3.3.
Обратим внимание на одну особенность поведения системы в бесконечно
удаленной части плоскости. При а = 0 система консервативна, ее траектории
- замкнутые линии. При 1/(1 + у) >а>О (см. рнс. 3.3.3,а) равновесие
х = ах--------------------,
1 + Ах
Ьху
dxy
(3.3.5)
а а
которая заменой t = т/а, х =- и, у =- d переводится в
d b
uv
и - и------------,
1 +аи
uv
(3.3.6)
V = - У V +
1 +аи
34
Рис. 3.3.3. Варианты фазового портрета системы (3.3.6) при cry < 1 (а-в)
и cry > 1 (г)
становится неустойчивым, а бесконечно удаленный предельный цикл -
притягивающим. Это означает, что происходят колебания плотности популяций
жертвы и хищника с неограничено возрастающей амплитудой. На каждом пике
численности хищник как бы ''нагоняет" в популяционном смысле жертву и
возвращает плотность ее популяции после каждого пика в область все
меньших значений.
Однако при дальнейшем росте а поведение системы на бесконечности
меняется. При а = 1/(1 + у) точка, соответствующая ''концу" абсциссы,
становится седпоузлом (рис. 3.3.3,б), а при а> 1/(1 + 7) - глобально
притягивающим бесконечно удаленным узлом, отщепляя от себя седло ''верх"
по экватору сферы Пуанкаре (рис. 3.3.3, в). Интерпретируем этот фазовый
портрет следующим образом. Рост параметра отвечает уменьшению
биотического потенциала хищника, т.е. максимально возможной скорости
прироста его популяции. При а > 1/(1 + у) и при больших плотностях
популяции жертвы хищник оказывается не в состоянии ее ''настигнуть" и
вернуть в область малых плотностей. В результате плотность популяции
жертвы монотонно и неограниченно растет. Плотность популяции хищника при
этом также увеличивается. Подобный эффект популяционного ускользания
жертвы от хищника ранее был описан для совсем иной модели [166].
3.3.3. Нелинейный характер
выедания хищником жертвы
при малых плотностях популяции жертвы
Характер взаимодействия между хищником и жертвой, описываемый трофической
функцией третьего типа, характеризуется двумя особенностями: во-первых,
нелинейным ростом абсолютной скорости выедания хищником жертвы с ростом
плотности популяции жертвы и, во-вторых, рассмотренным только что
эффектом насыщения хищника. Система
Ьх2у
ах
су
1 +Рх dx2 у 1 + Рх
(3.3.7)
где Р - величина, обратная плотности популяции жертвы, описывает квад-
ратачный характер зависимости скорости выедания жертвы хищником при малой
плотности популяции жертвы и асимптотически переходит в исходную систему
(3.3.1) при больших плотностях популяции жертвы.
35
,---, \JadP
Замена t = т/а, x = yJaP/d и, у ----- v переводит систему
(3.3.7) в
и = и -
1 + а и уи +
и2 и
1 + аи
где у = с/а, а = \JajPd.'
(3.3.8)
Рис. 3.3.4. Фазовый портрет систем (3.3.8) и (3.3.10) при р < 1 (при /3 >
1 нетривиальное равновесие отсутствует и фазовый портрет аналогичен
изображениому на рис. 3.3.3, г)
Нетривиальное равновесие всегда существует и при любых значениях
параметров устойчиво (рис. 3.3.4).
3.3.4. Конкуренция хищника за жертву и за отличные от жертвы ресурсы
Конкуренция хищника за жертву учитывается системой
Ьху
х - ах
у = - су +-
1 + By dxy 1 + By
(3.3.9)
а а
которая заменой t = т/а, х =- и, у - - и приводится к виду
d Ъ
uv
и = и -
v = - yv +-
1 + 0V
UV
(3.3.10)
где 0 = аВ/Ь.
При 0 < 1 нетривиальное равновесие существует и устойчиво. (Фазовый
портрет аналогичен изображенному на рис. 3.3.4). По мере роста параметра
0 равновесные численности популяций хищника и жертвы растут. Неравенство
0 > 1 отвечает ситуации, когда скорость роста популяции жертвы всегда,
при любой сколь угодно большой плотности популяции
36
хищника, больше скорости выедания. Популяция жертвы неограниченно растет,
нетривиальное равновесие отсутствует.
Учет конкуренции хищника за отличные от жертвы ресурсы приводит к системе
х = ах - Ьху,
у = - су + dxy - hy2. (3.3.11)
Заметим, что умножение обоих уравнений (3.3.9) на (1 + Ву) (что
эквивалентно соответствующей замене масштаба времени) приводит их к виду
х = ах - (Ь - аВ) ху,
у = - су + dxy - Всу2, (3.3.12)
с точностью до обозначений параметров совпадающему с выражениями
(3.3.11). Это означает, что системы (3.3.9) и (3.3.11) качественно
эквивалентны. Поэтому фазовый портрет системы (3.3.11) также тождествен
изображенному на рис. 3.3.4.
3.3.5. Нелинейность размножения хищника
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 83 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed