Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
et і т 2nab т, M2Ik эллипса S = nab, откуда T = —. И так как а =-~мъ~ =
2|Я|-#Г
р \ , M2 і M ИЗ b= , I, о = —г---із- =—г___ і то
-21*1 V---і-^У---* ^21^4 ~ ^ЩЩ '
T =2п , *_ ; но 2 IEI = — , итак T = 2па**к-и*.
(]f2\E\f 11 «
*) Капните каплю чая недалеко от центра стакана. Волны соберутся в симметричной точке. Причина в том, что, согласно фокальному определению эллипса, волны, вышедшие из одного фокуса эллипса, собираются в другом.
**) Под планетами понимаются здесь точки, находящиеся в центральном поле.
§ 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ B ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 41
Заметим, что полная энергия E зависит, таким образом, только от большой полуоси орбиты а, и одинакова для всего семейства эллиптических орбит, от окружности радиуса а до отрезка длины 2а.
Задача. При запуске спутника на круговую орбиту на расстоянии 300 км от Земли направление скорости отклонилось от расчетного на 1° в сторону к Земле. Как изменится перигей?
Ответ. Высота перигея уменьшится примерно на 110 км.
Указание. Отличие орбиты от окружности — второго порядка малости, и им можно пренебречь. Радиус имеет расчетное значение, так как начальная энергия имеет расчетное значение. Следовательно, орбита получается из расчетной поворотом на угол Iе (рис. 36). Рис. 36. Орбита,
Задача. Как изменится высота перигея, если ^3"0^,?" круго_ набранная скорость будет на 1 м/с меньше расчетной?
Задача. Первой космической скоростью называется скорость движения на круговой орбите, радиус которой близок к радиусу Земли. Найдите величину первой космической скорости и докажите, что v2 = \f2 V1 (ср. § 3, Б).
Ответ. 8,1 км/с.
Задача *). Во время выхода в открытый космос космонавт А. Леонов бросил в сторону Земли заглушку от киноаппарата. Исследовать движение заглушки относительно космического корабля, считая скорость броска равной 10 м/с.
Ответ. Заглушка будет двигаться относительно космонавта приблизительно по эллипсу с большой осью около 32 км и малой осью около 16 км. Центр эллипса расположен в 16 км впереди космонавта по орбите, а период обращения по эллипсу равен периоду движения по орбите.
Указание. Примем за единицу длины радиус круговой орбиты космического корабля, а единицу времени выберем так, чтобы период обращения по этой орбите был 2л. Мы должны изучить решения уравнения Ньютона
г = —г/г3,
близкие к круговому решению г0 = 1, <Ро = t. Ищем эти решения в виде
г = t0 + t1, ф = ф0 + фх, t1 <g 1, фх <^ 1.
По теореме о дифференцируемости решения по начальным условиям, функции t1 (t) и ^)1 (t) с точностью до малых выше первого порядка по начальному отклонению удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений (уравнений в вариациях).
Подставляя выражения для г и ф в уравнение Ньютона, получаем после несложных вычислений уравнения в вариациях в виде
Y1 = 3T1 + 2(J)11 = — 2fi.
Решая эти уравнения при заданных начальных условиях (T1 (0) = фх (0) = = (J)1 (0) = 0, t1 (0) = —1/800), получаем приведенный выше ответ.
Отброшенные малые второго порядка дают эффект порядка 1/800 от полученного (т. е. порядка десятков метров за один виток). Таким образом, через виток заглушка, описав тридцатикилометровый эллипс за полтора часа, возвращается к космическому кораблю со стороны, противоположной Земле, и проходит мимо на расстоянии нескольких десятков метров.
*) Эта задача взята из увлекательной книги В» В. Белецкого «Очерки о движении космических тел» (M.: Наука, 1972).
42
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Разумеется, мы пренебрегли в этом расчете отличием орбиты от круговой, влиянием сил, отличных от силы тяготения, и т. п.
Следующие задачи дают другой вывод эллиптичности орбит в поле тяготения — он основан на своеобразной двойственности между законами Гу-ка и Ньютона и на функции Жуковского z + Hz.
Задача 1. Докажите, что эллипс Гука с центром в точке 0 плоскости комплексного переменного при возведении комплексных чисел в квадрат переходит в эллипс Ньютона (с фокусом в точке 0).
Решение. Если I г I = R > 1, то z + 1/z пробегает эллипс Гука с фокусами 4;2. Поэтому u>2 = z2 + 1/z2 + 2 пробегает эллипс Ньютона.
Задача 2. Докажите, что орбита движения точки в поле степени о переходит при возведении z в подходящую степень а в орбиту движения точки и> = za в поле степени А, где (а -|- 3) (А + 3) = 4, а = (а -+- 3)/2.
В частности, при а = 1 (закон Гука) получаем А = —2 (закон тяготения Ньютона), а = 2. Вместе с задачей 1 это доказывает эллиптичность орбит. Гиперболические и параболические орбиты можно получить так же.
Задача 3. Докажите, что среди орбит движения в поле притяжения, пропорционального любой степени А расстояния до центра, имеются орбиты, получающиеся из (не проходящих через 0) прямых на плоскости комплексного переменного при возведении комплексных чисел в степень а.
Решение. Нулевое поле имеет степень а при любом а, поэтому достаточно воспользоваться задачей 2.
