Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Если I U (г) I при г -> О не растет быстрее М2/{2г'), то rmln ]> О и орбита не подходит к центру. Если же U (г) + М2/(2г2) —оо при г -> 0, то возможно «падение в центр поля». Попасть в центр поля можно даже за конечное время (например, в поле U (г)= = - 1/г2).
38
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Задача. Исследовать вид орбиты в случае, когда полная энергия равна значению эффективной энергии V в точке локального максимума.
Г. Центральные поля, в которых все ограниченные орбиты замкнуты. Из следующей цепочки задач вытекает, что все ограниченные орбиты в центральном поле замкнуты только в двух случаях:
U = O3, а>0и[/ = —к/г, к > 0.
Задача 1. Докажите, что угол Ф между перицентром и апоцентром равен полупериоду колебаний в одномерной системе с потенциальной энер-
гиен W (х) = U ( — j + .
Указание. Подстановка х = Mir дает
С dx
Ф =
J Y2 (E — W)
~min
Задача 2. Найти угол Ф для орбиты, близкой к круговой радиуса г.
Ответ. ФЖФкр=п-^=-==п \/ ж + ги„ .
Задача 3. При каких U величина Фкр не зависит от радиуса г?
Ответ. U (г) = ага (а > —2, а ф 0) и U (г) = Ъ log г.
При этом Фкр = я / Vа т 2 (логарифмический случай соответствует а = 0). Например, при а = 2 имеем Фкр = л/2, а при а = —1 имеем Фкр = = л.
Задача 4. Пусть U (г) —» оо при г —» оо. Найти Hm Ф (E, M). Ответ, л/2.
Указание. Подстановка х = ухтах приводит Ф к виду fcmin
При E —* со пмеем хтах —» оо, j/mjn —» 0, и второе слагаемое в W* можно откинуть.
Задача 5. Пусть U (г) = —кг" , О < ? < 2. Найти Ф0 = Hm Ф.
e-»—О
1
Г* dx _ я
Ответ. Ф0 = \ - =--o-q-. Заметим, что Ф0 не зависит
J Ухй — зя * — P
от М.
Задача 6. Найти все центральные поля, в которых ограниченные орбиты существуют и все замкнуты. Ответ. U = аг2 или U - —hl г.
Решение. Если все ограниченные орбиты замкнуты, то, в частности,
Фкр = 2я-^- = const. Согласно задаче 3,U= аг (а > —2), либо U =
= Ь In г (а = 0). В обоих случаях Фкр = n/jAa + 2. Если а > 0, то согласно задаче 4, Hm Ф (Е, M) = я/2. Итак, Ф = л/2, а = 2. Если а < О,
i. »¦oo
§ 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ B ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 39
то, согласно задаче 5, Hm Ф (Е, M) = п/(2 + а). Итак, я/(2 + а) =
= я/|Л2 + а, а = —1. В случае а = О находим Фкр = nl]f~2, что несоизмеримо с 2я. Итак, все ограниченные орбиты могут быть замкнуты только и полях U = аг2 или U = —к/г. В поле U = аг2, а > О, все орбиты замкнуты (это эллипсы с центром в О: см. пример 1 § 5). В поле U = —А/г все ограниченные орбиты также замкнуты и также эллиптичны, как мы сейчас докажем.
Д. Кеплерова задача. Речь идет о движении в центральном
к
поле с потенциалом U =—к/г, и, следовательно, V (г) =--^- +
+ -^r (Рис 34).
По общей формуле
JIf/г2 iir
/2 (Я-F (г))
Интегрируя, получаем
Ф = arccos
M
т
к
~w
2Е + ~М*
К этому выражению следовало бы прибавить произвольную константу. Мы считаем ее равной нулю, что эквивалентно выбору
' ъ
04N
ур
Рис. 34. Эффективный потенциал кеплеровой задачи
Рис. 35. Кеплеров эллипс
начала отсчета угла ф от перицентра. Введем следующие обозначения
—=р- У1 +
2EM2
к2
= е.
Теперь получаем ф = arccos —--, т. е.
г =
1 + е cos <р
Это так называемое фокальное уравнение конического сечения. Движение ограничено (рис.35) при Е<.0. Тогда е<1, т.е.
40
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
коническое сечение — эллипс. Величина р называется параметром эллипса, а е — эксцентриситетом. Первый закон Кеплера, открытый им экспериментально из наблюдений за движением Марса, состоит в том, что планеты описывают эллипсы, в фокусах которых — Солнце.
Если принять, что планеты движутся в центральном поле тяготения, то из первого закона Кеплера вытекает закон тяготения Ньютона: U = —klr (см. пункт Г выше).
Параметр и эксцентриситет связаны с полуосями соотношениями
1-е г 1+е 1—е2 ' 1-е2 '
с if а2_б2
е = — = ——--, где с = ае — расстояние от центра до фокуса
(см. рис. 35).
Замечание. Эллипс с малым эксцентриситетом очень похож на окружность *). Если расстояние фокуса от центра — первого порядка малости, то различие полуосей — второго:
b = a J/4 — е2 ^ а (і.--у J . Например, в эллипсе с большой полуосью 10 см и эксцентриситетом 0,1 разность полуосей составляет 0,5 мм, а расстояние между фокусом и центром — 1 см.
Эксцентриситеты орбит планет очень малы. Поэтому Кеплер сначала сформулировал свой I закон так: планеты движутся вокруг Солнца по окружностям, но Солнце находится не в центре.
II закон Кеплера: секториальная скорость постоянна — справедлив в любом центральном поле.
III закон Кеплера: время обращения по эллиптической орбите зависит только от величины большой оси.
Квадраты периодов обращения двух планет по разным эллиптическим орбитам относятся как кубы их больших полуосей **).
Доказательство. Обозначим через T период обращения, через S — площадь, заметенную радиусом-вектором за время Т. 2S = MT, так как M/2 — секториальная скорость. Но площадь
